Subgroups — #22668

Order 256.

434 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 247 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1950	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1855	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1855	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#436	—	2	2	no	—
18	#435	—	2	2	no	—
19	#435	—	2	2	no	—
20	#435	C₄	1	4	yes	—
21	#435	C₄	1	4	yes	—
22	C₈×D₄	—	2	2	no	—
23	#430	—	2	4	no	—
24	C₂×#108	—	2	4	no	—
25	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#423	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#407	C₂²	1	2	yes	—
35	#407	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#341	C₂²	1	2	yes	—
41	#341	C₂²	1	2	yes	—
42	#341	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
53	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
54	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
72	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#108	—	2	4	no	—
78	#108	—	2	4	no	—
79	#108	—	2	2	no	—
80	#108	—	2	2	no	—
81	#108	—	2	2	no	—
82	#108	—	4	2	no	—
83	#108	D₄	1	4	yes	complemented
84	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#97	—	2	2	no	—
95	#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂⁴	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂⁴	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	M₁₆	—	2	2	no	—
122	M₁₆	—	2	8	no	—
123	M₁₆	—	2	2	no	—
124	M₁₆	—	2	2	no	—
125	M₁₆	—	2	2	no	—
126	M₁₆	—	2	2	no	—
127	M₁₆	—	2	2	no	—
128	M₁₆	—	2	2	no	—
129	M₁₆	—	4	4	no	—
130	M₁₆	—	4	4	no	—
131	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	4	4	no	—
145	C₂×C₈	—	4	4	no	—
146	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
152	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂³	—	2	1	no	—
161	C₂³	—	2	1	no	—
162	C₂³	—	2	2	no	—
163	C₂³	—	2	1	no	—
164	C₂³	—	2	1	no	—
165	C₂³	—	4	1	no	—
166	C₂³	—	4	1	no	—
167	C₂³	—	4	1	no	—
168	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	D₄	—	2	4	no	—
173	D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	1	no	—
191	C₂×C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₈	—	2	2	no	—
204	C₈	—	2	2	no	—
205	C₈	—	2	2	no	—
206	C₈	—	2	4	no	—
207	C₈	—	4	2	no	—
208	C₈	—	4	2	no	—
209	C₈	—	4	2	no	—
210	C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
211	C₂²	—	2	1	no	—
212	C₂²	—	2	1	no	—
213	C₂²	—	2	1	no	—
214	C₂²	—	2	1	no	—
215	C₂²	—	2	1	no	—
216	C₂²	—	2	2	no	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	1	no	—
219	C₂²	—	2	1	no	—
220	C₂²	—	2	2	no	—
221	C₂²	—	4	2	no	—
222	C₂²	—	4	2	no	—
223	C₂²	—	8	1	no	—
224	C₂²	—	8	1	no	—
225	C₂²	#430	1	2	yes	complemented
226	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	#554	1	1	yes	characteristic
229	C₄	—	2	1	no	—
230	C₄	—	2	1	no	—
231	C₄	—	2	2	no	—
232	C₄	—	2	2	no	—
233	C₄	—	2	2	no	—
234	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
236	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
237	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
238	C₂	—	2	1	no	—
239	C₂	—	2	1	no	—
240	C₂	—	2	2	no	—
241	C₂	—	4	1	no	—
242	C₂	—	4	2	no	—
243	C₂	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#2916	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#430	C₂	semidirect
4. C₂²×#108	C₂	semidirect
5. #1950	C₂	semidirect
6. #1855	C₂	semidirect
7. #1855	C₂	semidirect
8. #1849	C₂	semidirect
9. #1811	C₂	semidirect
10. #1810	C₂	semidirect
11. #1778	C₂	semidirect
83. #108	D₄	semidirect
225. C₂²	#430	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×M₁₆	2
C₂×#435	2
C₂×#430	2
C₂²×#108	2
#1950	2
#1855	2
#1849	2
#1811	2
#1810	2
#1778	2