Subgroups — #22683

Order 256.

493 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 231 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1941	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1863	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1862	C₂	1	2	yes	maximal
8	#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1804	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
18	C₄×SD₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#389	—	2	2	no	—
30	#389	C₂²	1	2	yes	—
31	#389	C₂²	1	2	yes	—
32	#385	—	2	2	no	—
33	#382	—	2	1	no	—
34	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#380	—	2	1	no	—
37	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#95	—	2	1	no	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
47	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×SD₁₆	Q₈	1	4	yes	—
50	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
56	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₄×D₄	—	2	4	no	—
58	C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₄×D₄	—	4	2	no	—
60	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#107	—	4	2	no	—
77	#106	—	2	4	no	—
78	#106	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	#103	—	2	4	no	—
81	#103	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
82	#102	—	2	4	no	—
83	#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₄×C₈	—	2	4	no	—
85	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
86	#95	—	2	1	no	—
87	#95	—	2	2	no	—
88	#95	—	2	1	no	—
89	#95	—	2	2	no	—
90	#95	—	2	1	no	—
91	#95	—	2	1	no	—
92	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂⁴	—	2	1	no	—
95	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
97	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂×D₄	—	2	1	no	—
102	C₂×D₄	—	2	1	no	—
103	C₂×D₄	—	2	1	no	—
104	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	SD₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
123	C₂×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
143	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₄²	—	2	4	no	—
148	C₄²	—	2	2	no	—
149	C₄²	—	2	2	no	—
150	C₄²	—	4	4	no	—
151	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₄²	#41	1	2	yes	—
153	C₂³	—	2	2	no	—
154	C₂³	—	2	2	no	—
155	C₂³	—	2	2	no	—
156	C₂³	—	4	2	no	—
157	C₂³	—	4	2	no	—
158	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
159	Q₈	—	2	2	no	—
160	Q₈	—	2	2	no	—
161	Q₈	—	2	2	no	—
162	Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	D₄	—	2	2	no	—
164	D₄	—	2	2	no	—
165	D₄	—	2	2	no	—
166	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄	—	8	4	no	—
188	C₂×C₄	—	8	8	no	—
189	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	#135	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₈	—	2	2	no	—
199	C₈	—	4	2	no	—
200	C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂²	—	2	4	no	—
202	C₂²	—	4	4	no	—
203	C₂²	—	4	2	no	—
204	C₂²	—	4	2	no	—
205	C₂²	—	4	4	no	—
206	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
208	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
210	C₂²	#577	1	2	yes	—
211	C₄	—	2	4	no	—
212	C₄	—	2	2	no	—
213	C₄	—	2	2	no	—
214	C₄	—	2	4	no	—
215	C₄	—	4	2	no	—
216	C₄	—	4	2	no	—
217	C₄	—	4	2	no	—
218	C₄	—	8	2	no	—
219	C₄	—	8	2	no	—
220	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
222	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
223	C₄	#554	1	1	yes	characteristic
224	C₂	—	4	4	no	—
225	C₂	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
227	C₂	#2949	1	1	yes	characteristic
228	C₂	#3282	1	2	yes	—
229	C₂	#3381	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #2351	C₂	semidirect
5. #1941	C₂	semidirect
6. #1863	C₂	semidirect
8. #1846	C₂	semidirect
9. #1805	C₂	semidirect
11. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
18. C₄×SD₁₆	C₄	semidirect
56. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
78. #106	C₂×C₄	semidirect
81. #103	C₂×C₄	semidirect
85. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
122. SD₁₆	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×SD₁₆	2
#2351	2
#2349	2
#1941	2
#1863	2
#1862	2
#1846	2
#1805	2
#1804	2
C₈×C₄⋊C₄	2