Subgroups — #22698

Order 256.

516 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 290 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#435	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#1940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#435	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
54	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
57	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
64	C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
75	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
91	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
92	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
93	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
95	#97	—	2	4	no	—
96	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
122	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	M₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	4	8	no	—
153	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
154	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₄²	—	2	2	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	2	no	—
167	C₄²	—	2	2	no	—
168	C₄²	—	2	2	no	—
169	C₄²	—	2	2	no	—
170	C₄²	—	4	1	no	—
171	C₄²	—	4	1	no	—
172	C₄²	—	4	1	no	—
173	C₄²	—	4	1	no	—
174	C₄²	—	4	1	no	—
175	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
177	C₂³	—	2	1	no	—
178	C₂³	—	2	1	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	1	no	—
181	C₂³	—	2	1	no	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	2	1	no	—
184	C₂³	—	2	1	no	—
185	C₂³	—	2	1	no	—
186	C₂³	—	2	1	no	—
187	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
190	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
191	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
241	C₈	—	2	4	no	—
242	C₈	—	4	2	no	—
243	C₈	—	4	2	no	—
244	C₈	—	4	2	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	2	2	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	2	2	no	—
253	C₂²	—	2	2	no	—
254	C₂²	—	4	1	no	—
255	C₂²	—	4	1	no	—
256	C₂²	—	4	1	no	—
257	C₂²	—	4	1	no	—
258	C₂²	#423	1	4	yes	—
259	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
266	C₄	—	2	2	no	—
267	C₄	—	2	2	no	—
268	C₄	—	2	2	no	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	2	2	no	—
272	C₄	—	2	2	no	—
273	C₄	—	2	2	no	—
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	4	1	no	—
276	C₄	—	4	1	no	—
277	C₄	—	4	1	no	—
278	C₄	#546	1	2	yes	—
279	C₄	#554	1	2	yes	—
280	C₂	—	2	4	no	—
281	C₂	—	4	2	no	—
282	C₂	#2349	1	1	yes	characteristic
283	C₂	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#2906	1	1	yes	characteristic
285	C₂	#2965	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#2970	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#2973	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#2974	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1940	C₂	semidirect
4. #1851	C₂	semidirect
5. #1850	C₂	semidirect
6. #1831	C₂	semidirect
7. #1797	C₂	semidirect
8. #1797	C₂	semidirect
9. #1767	C₂	semidirect
10. #1728	C₂	semidirect
11. C₂×#336	C₂	semidirect
122. C₂²×C₄	M₁₆	semidirect
162. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#435	2
C₄²×D₄	2
#1940	2
#1851	2
#1850	2
#1831	2
#1797	2
#1767	2
#1728	2
C₂×#336	2