Subgroups — #22706

Order 256.

469 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 220 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2352	C₂	1	2	yes	maximal
3	#1949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1854	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₈×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#388	—	2	2	no	—
26	#387	—	2	2	no	—
27	#386	—	2	2	no	—
28	#382	C₂²	1	2	yes	—
29	#380	C₂²	1	2	yes	—
30	#380	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
33	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#340	C₂²	1	2	yes	—
37	#340	C₂²	1	2	yes	—
38	#340	C₂²	1	2	yes	—
39	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
45	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
46	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
48	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
54	#117	—	2	4	no	—
55	#117	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#107	—	4	2	no	—
73	#106	—	2	4	no	—
74	#106	—	4	2	no	—
75	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
76	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
78	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	#95	—	2	2	no	—
80	#95	—	2	2	no	—
81	#95	—	2	2	no	—
82	#95	—	2	2	no	—
83	#95	—	2	2	no	—
84	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
98	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
99	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
100	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂×C₈	—	4	4	no	—
114	C₂×C₈	—	4	4	no	—
115	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
127	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
129	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
132	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₄²	—	4	4	no	—
135	C₄²	—	8	2	no	—
136	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂³	—	2	2	no	—
139	C₂³	—	2	2	no	—
140	C₂³	—	2	2	no	—
141	C₂³	—	2	1	no	—
142	C₂³	—	2	1	no	—
143	C₂³	—	2	2	no	—
144	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂³	#135	1	2	yes	—
147	C₂³	#135	1	2	yes	—
148	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄	—	8	8	no	—
174	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
182	C₈	—	2	2	no	—
183	C₈	—	2	2	no	—
184	C₈	—	2	2	no	—
185	C₈	—	2	2	no	—
186	C₂²	—	2	2	no	—
187	C₂²	—	2	2	no	—
188	C₂²	—	2	4	no	—
189	C₂²	—	2	4	no	—
190	C₂²	—	2	2	no	—
191	C₂²	—	2	2	no	—
192	C₂²	—	2	2	no	—
193	C₂²	—	4	2	no	—
194	C₂²	—	4	2	no	—
195	C₂²	#427	1	4	yes	—
196	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²	#546	1	2	yes	—
198	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
199	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
200	C₂²	#577	1	2	yes	—
201	C₄	—	2	2	no	—
202	C₄	—	2	2	no	—
203	C₄	—	2	2	no	—
204	C₄	—	2	2	no	—
205	C₄	—	4	4	no	—
206	C₄	—	8	2	no	—
207	C₄	—	8	2	no	—
208	C₄	—	8	2	no	—
209	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
211	C₄	#554	1	2	yes	—
212	C₂	—	2	4	no	—
213	C₂	—	4	2	no	—
214	C₂	#2349	1	1	yes	characteristic
215	C₂	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
216	C₂	#2912	1	1	yes	characteristic
217	C₂	#3296	1	2	yes	—
218	C₂	#3301	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1949	C₂	semidirect
4. #1854	C₂	semidirect
5. #1853	C₂	semidirect
6. #1835	C₂	semidirect
7. #1808	C₂	semidirect
8. #1807	C₂	semidirect
9. C₄×#106	C₂	semidirect
10. #1735	C₂	semidirect
11. C₂×#340	C₂	semidirect
17. C₈×D₄	C₄	semidirect
47. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
75. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
77. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
78. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×D₄	2
#2352	2
#1949	2
#1854	2
#1853	2
#1835	2
#1808	2
#1807	2
C₄×#106	2
#1735	2
C₂×#340	2