Subgroups — #22717

Order 256.

411 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 175 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#1950	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1855	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1810	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#436	—	2	2	no	—
13	#435	—	2	4	no	—
14	C₈×D₄	—	2	2	no	—
15	C₈×D₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#108	C₂²	1	4	yes	—
20	#423	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#407	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#341	C₂²	1	2	yes	—
28	#341	C₂²	1	2	yes	—
29	#341	C₂²	1	4	yes	—
30	#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
36	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
41	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#108	—	2	4	no	—
56	#108	—	4	4	no	—
57	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#97	—	2	2	no	—
66	C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂⁴	C₂×Q₈	1	2	yes	—
70	C₂×D₄	—	2	4	no	—
71	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
72	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	M₁₆	—	2	2	no	—
85	M₁₆	—	2	2	no	—
86	M₁₆	—	2	4	no	—
87	M₁₆	—	2	2	no	—
88	M₁₆	—	2	4	no	—
89	M₁₆	—	4	8	no	—
90	M₁₆	#41	1	4	yes	—
91	C₂×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈	—	4	4	no	—
98	C₂×C₈	—	4	4	no	—
99	C₂×C₈	—	4	8	no	—
100	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³	—	2	4	no	—
115	C₂³	—	2	4	no	—
116	C₂³	—	4	2	no	—
117	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
120	D₄	—	2	4	no	—
121	D₄	—	2	2	no	—
122	D₄	#108	1	4	yes	complemented
123	C₂×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
141	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
142	C₈	—	2	2	no	—
143	C₈	—	2	2	no	—
144	C₈	—	2	4	no	—
145	C₈	—	2	4	no	—
146	C₈	—	4	4	no	—
147	C₈	—	4	2	no	—
148	C₂²	—	2	2	no	—
149	C₂²	—	2	1	no	—
150	C₂²	—	2	1	no	—
151	C₂²	—	2	2	no	—
152	C₂²	—	2	2	no	—
153	C₂²	—	2	2	no	—
154	C₂²	—	2	2	no	—
155	C₂²	—	4	8	no	—
156	C₂²	C₂×#108	1	4	yes	—
157	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²	#554	1	2	yes	—
159	C₄	—	2	2	no	—
160	C₄	—	2	2	no	—
161	C₄	—	2	1	no	—
162	C₄	—	2	1	no	—
163	C₄	—	2	1	no	—
164	C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
165	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
166	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
167	C₄	#546	1	2	yes	—
168	C₂	—	2	2	no	—
169	C₂	—	2	4	no	—
170	C₂	—	4	2	no	—
171	C₂	#2349	1	1	yes	characteristic
172	C₂	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
173	C₂	#2916	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1950	C₂	semidirect
4. #1855	C₂	semidirect
5. #1837	C₂	semidirect
6. #1810	C₂	semidirect
7. C₄×#108	C₂	semidirect
8. C₂×#341	C₂	semidirect
122. D₄	#108	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×M₁₆	2
C₂×C₈×D₄	2
#1950	2
#1855	2
#1837	2
#1810	2
C₄×#108	2
C₂×#341	2