Subgroups — #22748

Order 256.

526 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1869	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#431	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	#336	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₄×D₄	C₈	1	8	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
94	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
97	C₄×C₈	—	2	4	no	—
98	C₄×C₈	—	4	2	no	—
99	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
103	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
130	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	—	4	8	no	—
159	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
163	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
167	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
168	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	—
169	C₄²	—	2	2	no	—
170	C₄²	—	2	2	no	—
171	C₄²	—	2	2	no	—
172	C₄²	—	2	2	no	—
173	C₄²	—	2	2	no	—
174	C₄²	—	2	2	no	—
175	C₄²	—	2	1	no	—
176	C₄²	—	2	1	no	—
177	C₄²	—	2	1	no	—
178	C₄²	—	2	1	no	—
179	C₄²	—	2	1	no	—
180	C₄²	—	2	1	no	—
181	C₄²	—	2	1	no	—
182	C₄²	—	2	1	no	—
183	C₄²	—	4	1	no	—
184	C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
185	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄²	#41	1	2	yes	—
187	C₂³	—	2	1	no	—
188	C₂³	—	2	1	no	—
189	C₂³	—	2	1	no	—
190	C₂³	—	2	1	no	—
191	C₂³	—	2	1	no	—
192	C₂³	—	2	1	no	—
193	C₂³	—	2	1	no	—
194	C₂³	—	2	1	no	—
195	C₂³	—	2	1	no	—
196	C₂³	—	2	1	no	—
197	C₂³	#117	1	2	yes	—
198	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
199	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
200	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
201	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
257	C₈	—	2	4	no	—
258	C₈	—	4	2	no	—
259	C₈	—	4	2	no	—
260	C₈	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	2	2	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	2	no	—
270	C₂²	—	4	1	no	—
271	C₂²	—	4	1	no	—
272	C₂²	—	4	1	no	—
273	C₂²	—	4	1	no	—
274	C₂²	#431	1	4	yes	complemented
275	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
282	C₄	—	2	2	no	—
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	4	1	no	—
291	C₄	—	4	1	no	—
292	C₄	—	4	1	no	—
293	C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
294	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#552	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
298	C₂	—	2	4	no	—
299	C₂	—	4	2	no	—
300	C₂	#2352	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#2925	1	1	yes	characteristic
303	C₂	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#2988	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#2990	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#431	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
4. #1923	C₂	semidirect
5. #1916	C₂	semidirect
7. #1831	C₂	semidirect
8. #1797	C₂	semidirect
9. #1797	C₂	semidirect
10. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
62. C₄×D₄	C₈	semidirect
93. C₄⋊C₈	D₄	semidirect
131. C₂²×C₄	C₂×C₈	semidirect
162. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
167. C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
184. C₄²	C₂×C₈	semidirect
274. C₂²	#431	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#431	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₄²×D₄	2
#1923	2
#1916	2
#1869	2
#1831	2
#1797	2
C₄×C₄⋊C₈	2
C₈×C₂²⋊C₄	2