Subgroups — #22758

Order 256.

489 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 260 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1936	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1921	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1879	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1762	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#117	—	2	1	no	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
18	C₄×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#390	C₂²	1	2	yes	—
28	#389	C₂²	1	2	yes	—
29	#388	—	2	2	no	—
30	#385	—	2	2	no	—
31	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#380	—	2	1	no	—
34	#380	—	2	1	no	—
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#340	C₂²	1	2	yes	—
38	#340	C₂²	1	2	yes	—
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
47	C₂×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₄×D₄	—	4	2	no	—
57	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	#117	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#107	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
81	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	#102	—	2	4	no	—
83	#102	—	4	2	no	—
84	#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#102	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
86	#97	—	4	2	no	—
87	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	#95	—	2	2	no	—
89	#95	—	2	2	no	—
90	#95	D₄	1	2	yes	—
91	C₂⁴	—	2	1	no	—
92	C₂⁴	—	2	1	no	—
93	C₂×D₄	—	2	1	no	—
94	C₂×D₄	—	2	1	no	—
95	C₂×D₄	—	2	1	no	—
96	C₂×D₄	—	2	1	no	—
97	C₂×D₄	—	2	1	no	—
98	C₂×D₄	—	2	1	no	—
99	C₂×D₄	—	2	1	no	—
100	C₂×D₄	—	2	1	no	—
101	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
104	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
118	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	D₈	—	2	8	no	—
124	C₂×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
145	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
146	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
153	C₄²	—	2	2	no	—
154	C₄²	—	2	2	no	—
155	C₄²	—	4	4	no	—
156	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₄²	#41	1	2	yes	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	4	1	no	—
163	C₂³	—	4	1	no	—
164	C₂³	—	4	1	no	—
165	C₂³	—	4	1	no	—
166	C₂³	—	4	1	no	—
167	C₂³	—	4	1	no	—
168	C₂³	—	4	1	no	—
169	C₂³	—	4	1	no	—
170	C₂³	—	4	1	no	—
171	C₂³	—	4	1	no	—
172	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	D₄	—	2	2	no	—
174	D₄	—	2	2	no	—
175	D₄	—	2	2	no	—
176	D₄	—	2	2	no	—
177	D₄	—	2	2	no	—
178	D₄	—	4	1	no	—
179	D₄	—	4	1	no	—
180	D₄	#117	1	4	yes	complemented
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂×C₄	—	4	8	no	—
196	C₂×C₄	—	4	8	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	8	8	no	—
204	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₈	—	2	2	no	—
215	C₈	—	2	2	no	—
216	C₈	—	4	2	no	—
217	C₂²	—	2	4	no	—
218	C₂²	—	4	2	no	—
219	C₂²	—	4	2	no	—
220	C₂²	—	4	2	no	—
221	C₂²	—	4	2	no	—
222	C₂²	—	4	2	no	—
223	C₂²	—	4	2	no	—
224	C₂²	—	4	2	no	—
225	C₂²	—	4	2	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	8	1	no	—
228	C₂²	—	8	1	no	—
229	C₂²	—	8	1	no	—
230	C₂²	—	8	1	no	—
231	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
233	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
238	C₄	—	2	2	no	—
239	C₄	—	4	2	no	—
240	C₄	—	4	2	no	—
241	C₄	—	4	2	no	—
242	C₄	—	4	2	no	—
243	C₄	—	8	2	no	—
244	C₄	—	8	2	no	—
245	C₄	#442	1	4	yes	—
246	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
247	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
248	C₄	#552	1	1	yes	characteristic
249	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
250	C₂	—	4	4	no	—
251	C₂	—	8	2	no	—
252	C₂	#2352	1	1	yes	characteristic
253	C₂	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#2951	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#3325	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#3330	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#3366	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#3367	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2354	C₂	semidirect
3. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. #1936	C₂	semidirect
5. #1921	C₂	semidirect
7. #1834	C₂	semidirect
8. #1802	C₂	semidirect
9. #1802	C₂	semidirect
10. #1770	C₂	semidirect
11. #1762	C₂	semidirect
18. C₄×D₈	C₄	semidirect
58. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
80. #107	C₂×C₄	semidirect
85. #102	C₂×C₄	semidirect
87. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
180. D₄	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₈	2
#2354	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#1936	2
#1921	2
#1879	2
#1834	2
#1802	2
#1770	2
#1762	2