Subgroups — #229153

Order 512.

748 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23087	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#466	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#121	C₂²	1	2	yes	—
18	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1955	—	2	2	no	—
20	#1954	C₂²	1	2	yes	—
21	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1939	C₂²	1	2	yes	—
23	#1934	C₄	1	2	yes	—
24	#1923	—	2	2	no	—
25	#1893	C₄	1	2	yes	—
26	#1870	—	2	2	no	—
27	#1808	C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1770	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	#1753	—	2	2	no	—
32	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1594	—	2	4	no	—
35	#1564	—	2	4	no	—
36	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#466	—	2	4	no	—
56	C₄×D₈	—	2	2	no	—
57	C₄×D₈	—	2	2	no	—
58	#436	—	2	4	no	—
59	#436	—	4	2	no	—
60	#431	—	2	4	no	—
61	#431	—	4	2	no	—
62	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×#97	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#388	—	2	2	no	—
92	#386	—	2	2	no	—
93	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
96	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	1	no	—
102	#336	D₄	1	2	yes	—
103	#335	—	2	4	no	—
104	#334	—	2	2	no	—
105	#334	D₄	1	4	yes	complemented
106	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
107	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
108	#322	—	2	2	no	—
109	#322	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
131	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#121	—	2	4	no	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	8	2	no	—
145	C₄×D₄	—	8	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	#107	—	2	2	no	—
165	#107	—	2	2	no	—
166	#107	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
171	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	#102	—	2	4	no	—
173	#102	—	2	4	no	—
174	#102	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
181	#97	—	8	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	2	1	no	—
188	C₄×C₈	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	2	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	4	4	no	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
197	#95	—	2	2	no	—
198	#95	—	2	2	no	—
199	#95	—	2	2	no	—
200	C₂⁴	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	8	2	no	—
210	C₂×D₄	—	8	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	D₈	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	8	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
287	C₄²	—	2	1	no	—
288	C₄²	—	2	1	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	1	no	—
302	C₂³	—	2	1	no	—
303	C₂³	—	2	1	no	—
304	C₂³	—	2	1	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	#436	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	D₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	2	no	—
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	4	1	no	—
367	C₈	—	4	2	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	8	1	no	—
370	C₈	—	8	1	no	—
371	C₈	—	8	2	no	—
372	C₈	#435	1	4	yes	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	1	no	—
379	C₂²	—	4	1	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	8	2	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2943	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	4	1	no	—
399	C₄	—	8	2	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	—	8	2	no	—
402	C₄	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#2933	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2989	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#2994	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#3268	1	2	yes	—
407	C₄	#3347	1	2	yes	—
408	C₂	—	4	2	no	—
409	C₂	—	16	2	no	—
410	C₂	#17890	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#17895	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#18075	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#18091	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#22989	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#23019	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#23031	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#466	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23087	C₂	semidirect
3. C₂×#1594	C₂	semidirect
4. C₂×#1564	C₂	semidirect
5. #9659	C₂	semidirect
6. #9595	C₂	semidirect
7. #9545	C₂	semidirect
8. #8940	C₂	semidirect
9. #8847	C₂	semidirect
10. #8287	C₂	semidirect
11. #8144	C₂	semidirect
105. #334	D₄	semidirect
131. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23087	2
C₄×#466	2
C₂×#1594	2
C₂×#1564	2
#9659	2
#9595	2
#9545	2
#8940	2
#8847	2
#8287	2
#8144	2