Subgroups — #229201

Order 512.

616 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 407 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#472	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17895	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#17893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#17799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9608	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9550	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8956	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#472	C₄	1	1	yes	characteristic
13	#2989	C₂²	1	2	yes	—
14	#2975	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1978	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1954	C₂²	1	2	yes	—
20	#1952	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1931	C₄	1	2	yes	—
22	#1907	C₄	1	2	yes	—
23	#1816	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#100	C₂²	1	2	yes	—
26	#1594	—	2	2	no	—
27	#1594	—	2	2	no	—
28	#1592	—	2	2	no	—
29	#1590	—	2	2	no	—
30	#1589	—	2	1	no	—
31	#1589	—	2	1	no	—
32	#1589	—	2	2	no	—
33	#1569	—	2	2	no	—
34	#1568	—	2	1	no	—
35	#1567	—	2	1	no	—
36	#1565	C₂²	1	2	yes	—
37	#1565	C₂²	1	2	yes	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1478	C₂²	1	2	yes	—
41	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1283	C₂²	1	2	yes	—
48	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	2	yes	—
50	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#131	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#131	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	#472	—	2	4	no	—
58	#446	—	2	2	no	—
59	#442	—	2	2	no	—
60	#440	—	2	2	no	—
61	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	2	1	no	—
64	C₄×D₈	—	2	1	no	—
65	C₄×D₈	—	2	1	no	—
66	C₄×D₈	—	2	1	no	—
67	#436	—	2	2	no	—
68	#436	—	2	2	no	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#436	—	2	2	no	—
71	#436	—	2	2	no	—
72	#435	—	4	2	no	—
73	#432	—	2	2	no	—
74	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#431	C₂³	1	2	yes	—
76	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	#428	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	#423	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	#418	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#417	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×#100	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#100	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#407	—	4	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
90	#405	—	2	1	no	—
91	#405	—	2	1	no	—
92	#405	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	#405	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
95	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#335	—	2	2	no	—
105	#335	—	2	2	no	—
106	#335	—	2	1	no	—
107	#335	—	2	1	no	—
108	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
109	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
110	#334	—	2	2	no	—
111	#334	—	2	2	no	—
112	#334	D₄	1	2	yes	—
113	Q₈⋊C₈	—	2	1	no	—
114	Q₈⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
115	Q₈⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
116	D₄⋊C₈	—	2	1	no	—
117	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
118	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
119	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
120	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
121	D₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
122	D₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
123	#322	—	2	2	no	—
124	#322	—	2	1	no	—
125	C₈²	—	2	1	no	—
126	C₈²	—	2	2	no	—
127	C₈²	—	2	1	no	—
128	C₈²	—	2	1	no	—
129	C₂×#41	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
133	AGL(1,ℤ/8)	—	4	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	1	no	—
137	C₂×D₈	—	2	1	no	—
138	C₂×D₈	—	2	2	no	—
139	C₂×D₈	—	2	2	no	—
140	#131	—	2	2	no	—
141	#131	—	2	2	no	—
142	#131	—	2	2	no	—
143	#131	—	4	1	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	2	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₄×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
170	#117	—	2	1	no	—
171	#117	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	#108	—	2	2	no	—
177	#108	M₁₆	1	4	yes	complemented
178	#107	—	2	1	no	—
179	#107	—	2	1	no	—
180	#107	—	2	2	no	—
181	#106	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	#103	—	2	2	no	—
191	#102	—	2	2	no	—
192	#102	—	2	2	no	—
193	#102	—	2	2	no	—
194	#102	—	2	2	no	—
195	#102	—	2	2	no	—
196	#100	—	2	4	no	—
197	#100	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
205	#97	—	2	1	no	—
206	#97	—	2	1	no	—
207	#97	—	2	1	no	—
208	#97	—	2	2	no	—
209	#97	—	4	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	1	no	—
217	C₄×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄×C₈	—	2	1	no	—
219	C₄×C₈	—	2	1	no	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
225	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂⁴	—	2	2	no	—
227	#41	—	2	1	no	—
228	#41	—	2	1	no	—
229	#41	—	2	1	no	—
230	#41	—	2	1	no	—
231	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	D₈	—	4	4	no	—
253	D₈	—	4	2	no	—
254	D₈	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	2	1	no	—
256	M₁₆	—	2	2	no	—
257	M₁₆	—	2	1	no	—
258	M₁₆	—	2	2	no	—
259	M₁₆	—	2	2	no	—
260	M₁₆	—	2	1	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	16	2	no	—
264	M₁₆	—	16	2	no	—
265	M₁₆	—	16	2	no	—
266	M₁₆	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
267	M₁₆	#131	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	1	no	—
284	C₂×C₈	—	4	1	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	8	2	no	—
289	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	2	1	no	—
307	C₄²	—	2	1	no	—
308	C₄²	—	2	1	no	—
309	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	1	no	—
321	Q₈	—	2	1	no	—
322	D₄	—	2	1	no	—
323	D₄	—	2	1	no	—
324	D₄	—	4	1	no	—
325	D₄	—	4	1	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	1	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	1	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	16	2	no	—
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	—	2	1	no	—
358	C₈	—	2	1	no	—
359	C₈	—	2	2	no	—
360	C₈	—	2	4	no	—
361	C₈	—	4	1	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	4	1	no	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	4	1	no	—
367	C₈	—	4	1	no	—
368	C₈	—	4	2	no	—
369	C₈	—	8	1	no	—
370	C₈	—	8	2	no	—
371	C₈	#436	1	2	yes	—
372	C₈	#436	1	2	yes	—
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	2	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	16	2	no	—
383	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2991	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2993	1	1	yes	characteristic
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	4	1	no	—
390	C₄	—	4	1	no	—
391	C₄	—	4	1	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2931	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2933	1	1	yes	characteristic
396	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#3290	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#3292	1	1	yes	characteristic
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	8	1	no	—
402	C₂	—	16	2	no	—
403	C₂	#22990	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#23042	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#23046	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	#2361
prime radical	C₂×#472	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17895	C₂	semidirect
3. #17893	C₂	semidirect
4. #17799	C₂	semidirect
5. #9657	C₂	semidirect
6. #9608	C₂	semidirect
7. #9550	C₂	semidirect
8. #8956	C₂	semidirect
9. #8837	C₂	semidirect
10. C₈×#108	C₂	semidirect
11. #8184	C₂	semidirect
177. #108	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#472	2
#17895	2
#17893	2
#17799	2
#9657	2
#9608	2
#9550	2
#8956	2
#8837	2
C₈×#108	2
#8184	2