Subgroups — #229207

Order 512.

597 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	D₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#19105	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17995	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9628	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9589	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8989	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8931	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3101	C₂²	1	2	yes	—
14	#2962	C₂²	1	2	yes	—
15	D₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#108	—	2	1	no	—
18	#1986	C₂²	1	2	yes	—
19	#1950	C₂²	1	2	yes	—
20	#1945	—	2	1	no	—
21	#1922	—	2	2	no	—
22	#1855	—	2	2	no	—
23	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1810	—	2	1	no	—
25	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1772	—	2	1	no	—
27	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1675	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#1675	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#1673	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#1673	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1671	C₄	1	2	yes	complemented
34	#1671	C₄	1	2	yes	complemented
35	#1590	—	2	2	no	—
36	#1583	—	2	2	no	—
37	#1582	—	2	2	no	—
38	C₈×SD₁₆	—	2	2	no	—
39	#1570	C₂²	1	2	yes	—
40	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1542	C₂²	1	2	yes	—
42	#1493	C₂²	1	2	yes	—
43	#1493	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1303	C₂²	1	2	yes	—
48	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	2	yes	—
50	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	#533	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#500	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	#500	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	#499	—	2	1	no	—
58	#499	—	2	1	no	—
59	#498	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#483	—	2	2	no	—
61	#476	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#476	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#461	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#461	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#450	—	2	2	no	—
66	#446	—	2	2	no	—
67	#446	—	4	2	no	—
68	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
69	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
70	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
71	#436	—	2	2	no	—
72	#435	—	4	2	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	C₈×D₄	—	2	1	no	—
75	C₈×D₄	—	2	1	no	—
76	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#431	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#108	—	2	2	no	—
82	C₂×#108	—	2	1	no	—
83	C₂×#108	—	2	1	no	—
84	C₂×#108	—	4	4	no	—
85	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
87	#427	—	2	1	no	—
88	#427	—	2	1	no	—
89	#424	—	2	2	no	—
90	#423	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#102	—	2	1	no	—
94	#407	—	2	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
96	#405	—	2	2	no	—
97	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#341	—	2	2	no	—
104	#341	D₄	1	2	yes	—
105	#340	—	2	1	no	—
106	#339	—	2	2	no	—
107	#339	—	2	2	no	—
108	#336	—	2	1	no	—
109	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	#334	—	2	2	no	—
112	#334	—	2	2	no	—
113	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
114	#333	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	#333	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
119	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
120	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
121	D₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
122	D₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
123	D₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
124	D₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
125	#322	—	2	2	no	—
126	C₈²	—	2	2	no	—
127	C₈²	—	2	1	no	—
128	C₈²	—	2	1	no	—
129	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	#125	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	1	no	—
161	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	#117	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	#108	—	2	2	no	—
172	#108	—	4	4	no	—
173	#108	—	4	2	no	—
174	#108	—	8	1	no	—
175	#108	SD₁₆	1	4	yes	complemented
176	#107	—	2	1	no	—
177	#107	—	2	1	no	—
178	#107	—	2	1	no	—
179	#107	—	2	1	no	—
180	#106	—	2	2	no	—
181	#106	—	2	2	no	—
182	#106	—	2	2	no	—
183	#106	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	#103	—	2	2	no	—
197	#103	—	2	2	no	—
198	#102	—	2	4	no	—
199	#102	—	2	2	no	—
200	#102	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
208	#97	—	2	2	no	—
209	#97	—	4	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	4	2	no	—
216	C₄×C₈	—	4	2	no	—
217	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
222	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
223	#95	—	2	1	no	—
224	C₂⁴	—	2	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	1	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×D₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
245	SD₁₆	—	4	4	no	—
246	SD₁₆	—	8	2	no	—
247	M₁₆	—	2	2	no	—
248	M₁₆	—	2	2	no	—
249	M₁₆	—	2	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	8	4	no	—
253	M₁₆	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₂×C₈	—	4	1	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	8	4	no	—
280	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	1	no	—
304	C₄²	—	4	1	no	—
305	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	1	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	—	8	1	no	—
315	C₂³	#548	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	Q₈	—	8	2	no	—
319	D₄	—	2	1	no	—
320	D₄	—	2	1	no	—
321	D₄	—	2	1	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	#443	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	1	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	1	no	—
343	C₂×C₄	—	8	1	no	—
344	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	—	2	1	no	—
356	C₈	—	2	1	no	—
357	C₈	—	2	4	no	—
358	C₈	—	4	1	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	4	1	no	—
361	C₈	—	4	1	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	4	1	no	—
365	C₈	—	4	1	no	—
366	C₈	—	4	2	no	—
367	C₈	—	8	2	no	—
368	C₈	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
369	C₈	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	4	1	no	—
374	C₂²	—	4	1	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	8	2	no	—
380	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#3359	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#3360	1	1	yes	characteristic
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	4	1	no	—
387	C₄	—	4	1	no	—
388	C₄	—	8	2	no	—
389	C₄	—	8	2	no	—
390	C₄	—	8	2	no	—
391	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#2947	1	1	yes	characteristic
393	C₄	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2957	1	1	yes	characteristic
395	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
397	C₂	—	2	1	no	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	4	2	no	—
400	C₂	—	8	1	no	—
401	C₂	#22996	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#23018	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#23042	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	#2361
prime radical	C₂²×D₄	#41
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23170	C₂	semidirect
5. #9855	C₂	semidirect
6. #9628	C₂	semidirect
7. #9589	C₂	semidirect
9. #8931	C₂	semidirect
10. C₈×#108	C₂	semidirect
29. #1675	C₄	semidirect
30. #1675	C₄	semidirect
31. #1673	C₄	semidirect
32. #1673	C₄	semidirect
33. #1671	C₄	semidirect
34. #1671	C₄	semidirect
175. #108	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23170	2
D₄×#108	2
#19105	2
#17995	2
#9855	2
#9628	2
#9589	2
#8989	2
#8931	2
C₈×#108	2
C₈×#102	2