Subgroups — #229214

Order 512.

601 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19114	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17997	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9631	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9590	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8932	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3103	C₂²	1	2	yes	—
14	Q₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#444	—	2	1	no	—
17	#2935	C₂²	1	2	yes	—
18	#1980	C₂²	1	2	yes	—
19	#1975	—	2	1	no	—
20	#1950	—	2	2	no	—
21	#1950	C₂²	1	2	yes	—
22	#1876	—	2	2	no	—
23	#1848	—	2	1	no	—
24	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#108	—	2	1	no	—
26	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1670	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#1670	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#1668	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#1668	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1666	C₄	1	2	yes	complemented
34	#1666	C₄	1	2	yes	complemented
35	#1590	—	2	2	no	—
36	#1583	—	2	2	no	—
37	#1582	—	2	2	no	—
38	C₈×SD₁₆	—	2	2	no	—
39	#1570	C₂²	1	2	yes	—
40	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1540	C₂²	1	2	yes	—
42	#1492	C₂²	1	2	yes	—
43	#1492	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1303	C₂²	1	2	yes	—
48	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	2	yes	—
50	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#135	—	2	1	no	—
52	C₂×#135	—	2	1	no	—
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	#532	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#495	—	2	1	no	—
57	#495	—	2	1	no	—
58	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#481	—	2	2	no	—
62	#475	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#475	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#460	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#460	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#448	—	2	2	no	—
67	#446	—	2	2	no	—
68	#446	—	4	2	no	—
69	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
70	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
71	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#444	—	4	4	no	—
77	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
78	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
79	#436	—	2	2	no	—
80	#435	—	4	2	no	—
81	C₈×D₄	—	2	2	no	—
82	#431	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#108	—	2	1	no	—
84	C₂×#108	—	2	2	no	—
85	C₂×#108	—	2	1	no	—
86	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
88	#423	—	2	2	no	—
89	#423	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#104	—	2	2	no	—
94	C₂×#104	—	2	2	no	—
95	C₂×#103	—	2	1	no	—
96	#408	—	2	2	no	—
97	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×#97	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#341	—	2	2	no	—
106	#341	D₄	1	2	yes	—
107	#340	—	2	1	no	—
108	#336	—	2	1	no	—
109	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	#334	—	2	2	no	—
112	#334	—	2	2	no	—
113	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
114	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
119	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
120	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
121	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
122	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
123	#322	—	2	2	no	—
124	#322	—	2	1	no	—
125	#322	—	2	1	no	—
126	C₈²	—	2	2	no	—
127	C₂×#41	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
129	#135	—	4	2	no	—
130	#135	—	4	2	no	—
131	#135	—	8	1	no	—
132	#135	—	8	1	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×D₈	—	2	1	no	—
140	C₂×D₈	—	2	1	no	—
141	#131	—	4	4	no	—
142	#131	—	8	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
145	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	#124	—	2	2	no	—
157	#121	—	2	2	no	—
158	#121	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#108	—	2	2	no	—
174	#108	—	4	2	no	—
175	#108	—	8	1	no	—
176	#108	—	8	2	no	—
177	#108	SD₁₆	1	4	yes	complemented
178	#106	—	2	2	no	—
179	#106	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	#104	—	4	4	no	—
196	#104	—	8	2	no	—
197	#103	—	2	2	no	—
198	#103	—	2	2	no	—
199	#103	—	4	2	no	—
200	#102	—	2	2	no	—
201	#102	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
205	#97	—	2	2	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	#97	—	4	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	1	no	—
217	C₄×C₈	—	4	2	no	—
218	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
222	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
223	#95	—	2	1	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
232	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
245	Q₁₆	—	4	2	no	—
246	Q₁₆	—	8	1	no	—
247	SD₁₆	—	4	4	no	—
248	SD₁₆	—	4	4	no	—
249	SD₁₆	—	8	2	no	—
250	SD₁₆	—	8	2	no	—
251	D₈	—	4	2	no	—
252	D₈	—	8	1	no	—
253	M₁₆	—	2	2	no	—
254	M₁₆	—	2	2	no	—
255	M₁₆	—	2	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	8	4	no	—
259	M₁₆	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₂×C₈	—	4	1	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	8	4	no	—
279	C₂×C₈	—	8	1	no	—
280	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
295	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	1	no	—
303	C₄²	—	4	1	no	—
304	C₄²	—	4	1	no	—
305	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	#548	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	2	1	no	—
312	Q₈	—	2	1	no	—
313	Q₈	—	2	1	no	—
314	Q₈	—	4	2	no	—
315	Q₈	—	4	2	no	—
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	Q₈	#444	1	2	yes	complemented
318	D₄	—	4	2	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	D₄	—	4	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	1	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	1	no	—
340	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
350	C₈	—	2	1	no	—
351	C₈	—	2	1	no	—
352	C₈	—	2	4	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	1	no	—
355	C₈	—	4	1	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	4	2	no	—
358	C₈	—	4	2	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	8	1	no	—
361	C₈	—	8	2	no	—
362	C₈	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
363	C₈	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	2	no	—
369	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3362	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#3365	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	4	1	no	—
377	C₄	—	4	1	no	—
378	C₄	—	4	1	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	—	16	1	no	—
381	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
383	C₄	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2957	1	1	yes	characteristic
385	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	16	2	no	—
390	C₂	#22997	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#23019	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#23043	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	#2361
prime radical	#3147	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×#108	C₂	semidirect
4. #17997	C₂	semidirect
6. #9631	C₂	semidirect
7. #9590	C₂	semidirect
8. #8992	C₂	semidirect
9. #8932	C₂	semidirect
10. #8294	C₂	semidirect
11. #8203	C₂	semidirect
29. #1670	C₄	semidirect
30. #1670	C₄	semidirect
31. #1668	C₄	semidirect
32. #1668	C₄	semidirect
33. #1666	C₄	semidirect
34. #1666	C₄	semidirect
177. #108	SD₁₆	semidirect
317. Q₈	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23180	2
Q₈×#108	2
#19114	2
#17997	2
#9862	2
#9631	2
#9590	2
#8992	2
#8932	2
#8294	2
#8203	2