Subgroups — #229218

Order 512.

655 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#22669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17994	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9627	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9590	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8991	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8930	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3100	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#443	—	2	1	no	—
15	#2935	C₂²	1	2	yes	—
16	D₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#430	—	2	1	no	—
19	#1980	C₂²	1	2	yes	—
20	#1974	—	2	1	no	—
21	#1950	C₂²	1	2	yes	—
22	#1876	—	2	2	no	—
23	#1855	—	2	2	no	—
24	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1811	—	2	1	no	—
26	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1689	C₄	1	2	yes	complemented
30	#1687	C₄	1	2	yes	complemented
31	#1685	C₄	1	2	yes	complemented
32	#1685	C₄	1	2	yes	complemented
33	#1589	—	2	2	no	—
34	#1581	—	2	2	no	—
35	#1581	—	2	2	no	—
36	C₈×D₈	—	2	2	no	—
37	#1571	C₂²	1	2	yes	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1540	C₂²	1	2	yes	—
40	#1492	C₂²	1	2	yes	—
41	#1492	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1303	C₂²	1	2	yes	—
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1278	C₂²	1	2	yes	—
48	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#135	—	2	1	no	—
50	C₂×#135	—	2	1	no	—
51	C₂×#131	—	2	2	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
54	#532	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#495	—	2	1	no	—
57	#495	—	2	1	no	—
58	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#480	—	2	2	no	—
62	#474	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#474	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#459	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#459	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#447	—	2	2	no	—
67	#443	—	4	4	no	—
68	C₄×D₈	—	2	2	no	—
69	C₄×D₈	—	2	2	no	—
70	#436	—	2	2	no	—
71	#436	—	2	2	no	—
72	#436	—	2	1	no	—
73	#436	—	2	1	no	—
74	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#435	—	4	2	no	—
77	#435	—	4	2	no	—
78	C₈×D₄	—	2	2	no	—
79	C₈×D₄	—	2	2	no	—
80	#431	C₂³	1	2	yes	—
81	#430	—	4	4	no	—
82	C₂×#108	—	2	2	no	—
83	C₂×#108	—	2	1	no	—
84	C₂×#108	—	2	1	no	—
85	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
87	#423	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#104	—	2	2	no	—
91	C₂×#104	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	1	no	—
93	#408	—	2	2	no	—
94	#407	—	2	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#341	—	2	2	no	—
103	#341	D₄	1	2	yes	—
104	#340	—	2	1	no	—
105	#336	—	2	1	no	—
106	#335	—	2	2	no	—
107	#335	—	2	2	no	—
108	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
113	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
114	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
117	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
118	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
119	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
120	#322	—	2	2	no	—
121	#322	—	2	1	no	—
122	#322	—	2	1	no	—
123	C₈²	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	#135	—	4	2	no	—
128	#135	—	4	2	no	—
129	#135	—	8	1	no	—
130	#135	—	8	1	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	2	no	—
137	C₂×D₈	—	2	1	no	—
138	C₂×D₈	—	2	1	no	—
139	#131	—	4	4	no	—
140	#131	—	8	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	#124	—	2	2	no	—
163	#121	—	2	2	no	—
164	#121	—	2	2	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₄×D₄	—	2	1	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	#108	—	2	2	no	—
177	#108	—	4	4	no	—
178	#108	—	4	2	no	—
179	#108	—	8	1	no	—
180	#108	D₈	1	4	yes	complemented
181	#107	—	2	2	no	—
182	#107	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	#104	—	4	4	no	—
193	#104	—	8	2	no	—
194	#102	—	2	2	no	—
195	#102	—	2	2	no	—
196	#102	—	2	2	no	—
197	#102	—	2	2	no	—
198	#102	—	4	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
206	#97	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
217	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
218	#95	—	2	1	no	—
219	C₂⁴	—	2	1	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	1	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
245	Q₁₆	—	4	2	no	—
246	Q₁₆	—	8	1	no	—
247	SD₁₆	—	4	4	no	—
248	SD₁₆	—	8	2	no	—
249	D₈	—	4	4	no	—
250	D₈	—	4	2	no	—
251	D₈	—	8	1	no	—
252	D₈	—	8	2	no	—
253	M₁₆	—	2	2	no	—
254	M₁₆	—	2	2	no	—
255	M₁₆	—	2	2	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	8	4	no	—
261	M₁₆	—	8	4	no	—
262	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	8	4	no	—
282	C₂×C₈	—	8	4	no	—
283	C₂×C₈	—	8	1	no	—
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
295	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	—	4	1	no	—
302	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	4	1	no	—
308	C₂³	—	4	1	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	8	1	no	—
311	C₂³	—	8	1	no	—
312	C₂³	#548	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	4	2	no	—
314	Q₈	—	4	2	no	—
315	D₄	—	2	2	no	—
316	D₄	—	2	2	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	D₄	—	4	2	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	D₄	—	8	1	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
351	C₈	—	2	1	no	—
352	C₈	—	2	1	no	—
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	4	2	no	—
358	C₈	—	4	1	no	—
359	C₈	—	4	1	no	—
360	C₈	—	4	2	no	—
361	C₈	—	8	1	no	—
362	C₈	—	8	2	no	—
363	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
364	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	8	2	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	16	1	no	—
374	C₂²	—	16	1	no	—
375	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#3358	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3361	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2955	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2956	1	1	yes	characteristic
388	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
390	C₂	—	2	1	no	—
391	C₂	—	2	1	no	—
392	C₂	—	8	2	no	—
393	C₂	—	16	2	no	—
394	C₂	#22995	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#23020	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#23043	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	#2361
prime radical	#19133	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23179	C₂	semidirect
2. #22669	C₂	semidirect
4. #17994	C₂	semidirect
5. #9862	C₂	semidirect
6. #9627	C₂	semidirect
7. #9590	C₂	semidirect
8. #8991	C₂	semidirect
9. #8930	C₂	semidirect
10. #8294	C₂	semidirect
11. #8210	C₂	semidirect
29. #1689	C₄	semidirect
30. #1687	C₄	semidirect
31. #1685	C₄	semidirect
32. #1685	C₄	semidirect
180. #108	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23179	2
#22669	2
#19133	2
#17994	2
#9862	2
#9627	2
#9590	2
#8991	2
#8930	2
#8294	2
#8210	2