Subgroups — #229236

Order 512.

654 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	D₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#18001	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9631	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8991	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8932	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3100	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#444	—	2	1	no	—
15	#2935	C₂²	1	2	yes	—
16	D₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#108	—	2	1	no	—
19	#1980	C₂²	1	2	yes	—
20	#1975	—	2	1	no	—
21	#1950	C₂²	1	2	yes	—
22	#1876	—	2	2	no	—
23	#1855	—	2	2	no	—
24	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1810	—	2	1	no	—
26	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1669	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#1669	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#1667	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#1667	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1665	C₄	1	2	yes	complemented
34	#1665	C₄	1	2	yes	complemented
35	#1594	—	2	2	no	—
36	#1586	—	2	2	no	—
37	#1586	—	2	2	no	—
38	#1580	—	2	2	no	—
39	#1570	C₂²	1	2	yes	—
40	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1540	C₂²	1	2	yes	—
42	#1492	C₂²	1	2	yes	—
43	#1492	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1451	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1303	C₂²	1	2	yes	—
48	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	2	yes	—
50	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#135	—	2	1	no	—
52	C₂×#135	—	2	1	no	—
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
56	#532	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#495	—	2	1	no	—
59	#495	—	2	1	no	—
60	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#480	—	2	2	no	—
64	#474	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#474	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#459	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#459	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#447	—	2	2	no	—
69	#444	—	4	4	no	—
70	C₄×D₈	—	2	2	no	—
71	C₄×D₈	—	2	2	no	—
72	#436	—	2	2	no	—
73	#436	—	2	2	no	—
74	#435	—	4	2	no	—
75	#435	—	4	2	no	—
76	C₈×D₄	—	2	2	no	—
77	C₈×D₄	—	2	2	no	—
78	C₈×D₄	—	2	1	no	—
79	C₈×D₄	—	2	1	no	—
80	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	#431	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#108	—	2	2	no	—
86	C₂×#108	—	2	1	no	—
87	C₂×#108	—	2	1	no	—
88	C₂×#108	—	4	4	no	—
89	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#423	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#104	—	2	2	no	—
95	C₂×#104	—	2	2	no	—
96	C₂×#102	—	2	1	no	—
97	#408	—	2	2	no	—
98	#407	—	2	2	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
100	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#97	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#341	—	2	2	no	—
107	#341	D₄	1	2	yes	—
108	#340	—	2	1	no	—
109	#336	—	2	1	no	—
110	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
112	#334	—	2	2	no	—
113	#334	—	2	2	no	—
114	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
119	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
120	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
121	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
122	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
123	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
124	#322	—	2	2	no	—
125	#322	—	2	2	no	—
126	#322	—	2	1	no	—
127	#322	—	2	1	no	—
128	C₂×#41	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
131	#135	—	4	2	no	—
132	#135	—	4	2	no	—
133	#135	—	8	1	no	—
134	#135	—	8	1	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×D₈	—	2	2	no	—
140	C₂×D₈	—	2	2	no	—
141	C₂×D₈	—	2	1	no	—
142	C₂×D₈	—	2	1	no	—
143	#131	—	4	4	no	—
144	#131	—	8	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	#124	—	2	2	no	—
169	#121	—	2	2	no	—
170	#121	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	2	no	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	1	no	—
174	C₄×D₄	—	2	2	no	—
175	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	#108	—	2	2	no	—
185	#108	—	2	2	no	—
186	#108	—	4	4	no	—
187	#108	—	4	2	no	—
188	#108	—	8	1	no	—
189	#107	—	2	2	no	—
190	#107	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
198	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	#104	—	4	4	no	—
201	#104	—	8	2	no	—
202	#102	—	2	2	no	—
203	#102	—	2	2	no	—
204	#102	—	2	2	no	—
205	#102	—	2	2	no	—
206	#102	—	4	2	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
216	#97	—	2	2	no	—
217	#97	—	4	2	no	—
218	C₄×C₈	—	2	2	no	—
219	C₄×C₈	—	2	2	no	—
220	C₄×C₈	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
227	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
228	#95	—	2	1	no	—
229	C₂⁴	—	2	1	no	—
230	#41	—	4	2	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	2	no	—
233	#41	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	1	no	—
240	C₂×D₄	—	4	1	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×D₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
258	Q₁₆	—	4	2	no	—
259	Q₁₆	—	8	1	no	—
260	SD₁₆	—	4	4	no	—
261	SD₁₆	—	8	2	no	—
262	D₈	—	4	4	no	—
263	D₈	—	4	2	no	—
264	D₈	—	8	1	no	—
265	D₈	—	8	2	no	—
266	M₁₆	—	2	2	no	—
267	M₁₆	—	2	2	no	—
268	M₁₆	—	2	2	no	—
269	M₁₆	—	2	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	8	4	no	—
273	M₁₆	—	8	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	1	no	—
285	C₂×C₈	—	4	1	no	—
286	C₂×C₈	—	4	1	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	1	no	—
293	C₂×C₈	—	4	1	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	8	1	no	—
297	C₂×C₈	—	8	4	no	—
298	C₂×C₈	—	8	4	no	—
299	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
310	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄²	—	4	1	no	—
319	C₄²	—	4	1	no	—
320	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	—	2	1	no	—
325	C₂³	—	2	1	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	8	1	no	—
331	C₂³	#548	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	4	2	no	—
333	Q₈	—	4	2	no	—
334	D₄	—	2	1	no	—
335	D₄	—	2	1	no	—
336	D₄	—	2	1	no	—
337	D₄	—	4	2	no	—
338	D₄	—	4	2	no	—
339	D₄	—	4	2	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	8	2	no	—
343	D₄	—	8	2	no	—
344	D₄	—	8	2	no	—
345	D₄	#444	1	2	yes	complemented
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	4	1	no	—
354	C₂×C₄	—	4	1	no	—
355	C₂×C₄	—	4	1	no	—
356	C₂×C₄	—	4	1	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	1	no	—
365	C₂×C₄	—	8	1	no	—
366	C₂×C₄	—	8	1	no	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
377	C₈	—	2	1	no	—
378	C₈	—	2	1	no	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₈	—	4	1	no	—
381	C₈	—	4	1	no	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	4	2	no	—
384	C₈	—	4	2	no	—
385	C₈	—	4	2	no	—
386	C₈	—	4	2	no	—
387	C₈	—	8	1	no	—
388	C₈	—	8	2	no	—
389	C₈	#442	1	2	yes	—
390	C₈	#442	1	2	yes	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	1	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	4	1	no	—
395	C₂²	—	4	1	no	—
396	C₂²	—	4	1	no	—
397	C₂²	—	4	1	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	8	2	no	—
400	C₂²	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	8	2	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3366	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3373	1	1	yes	characteristic
407	C₄	—	2	1	no	—
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	4	1	no	—
411	C₄	—	4	1	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	16	1	no	—
414	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
416	C₄	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2957	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
420	C₂	—	2	1	no	—
421	C₂	—	2	1	no	—
422	C₂	—	4	2	no	—
423	C₂	—	8	1	no	—
424	C₂	—	16	2	no	—
425	C₂	#23001	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#23019	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#23043	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	#2361
prime radical	#19101	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23180	C₂	semidirect
2. D₄×#108	C₂	semidirect
4. #18001	C₂	semidirect
5. #9862	C₂	semidirect
6. #9631	C₂	semidirect
7. #9592	C₂	semidirect
8. #8991	C₂	semidirect
9. #8932	C₂	semidirect
10. #8295	C₂	semidirect
11. #8202	C₂	semidirect
29. #1669	C₄	semidirect
30. #1669	C₄	semidirect
31. #1667	C₄	semidirect
32. #1667	C₄	semidirect
33. #1665	C₄	semidirect
34. #1665	C₄	semidirect
345. D₄	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23180	2
D₄×#108	2
#19101	2
#18001	2
#9862	2
#9631	2
#9592	2
#8991	2
#8932	2
#8295	2
#8202	2