Subgroups — #229297

Order 512.

803 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#23093	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9563	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8920	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#442	—	2	1	no	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#427	—	2	1	no	—
17	#2366	C₂²	1	2	yes	—
18	#2354	C₂²	1	2	yes	—
19	#1982	C₂²	1	2	yes	—
20	#1972	—	2	1	no	—
21	#1970	—	2	2	no	—
22	#1957	C₂²	1	2	yes	—
23	#1957	C₂²	1	2	yes	—
24	#1947	C₂²	1	2	yes	—
25	#1947	C₂²	1	2	yes	—
26	#1925	—	2	2	no	—
27	#1879	—	2	2	no	—
28	#1879	—	2	2	no	—
29	#1854	—	2	2	no	—
30	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1807	—	2	1	no	—
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#102	—	2	2	no	—
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1667	C₄	1	8	yes	complemented
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1296	C₂²	1	2	yes	—
43	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	#493	—	2	2	no	—
56	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#459	—	2	4	no	—
58	#459	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	#442	—	4	4	no	—
60	C₈×D₄	—	2	2	no	—
61	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#427	—	4	4	no	—
63	C₂×#107	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	1	no	—
66	C₂×#106	—	2	1	no	—
67	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#102	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	4	2	no	—
78	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×#97	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	2	no	—
88	#388	—	4	2	no	—
89	#386	—	4	2	no	—
90	#384	C₂³	1	2	yes	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	D₄	1	2	yes	—
98	#340	D₄	1	2	yes	—
99	#336	—	2	1	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#335	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
102	#331	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
103	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
104	#322	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	8	no	—
112	C₂×D₈	—	2	4	no	—
113	C₂×D₈	—	2	4	no	—
114	C₂×D₈	—	4	2	no	—
115	C₂×D₈	—	4	2	no	—
116	C₂×D₈	—	8	1	no	—
117	C₂×D₈	—	8	1	no	—
118	C₂×D₈	—	8	2	no	—
119	C₂×D₈	—	8	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	2	no	—
133	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₄×D₄	—	2	1	no	—
135	C₄×D₄	—	2	1	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₄×D₄	—	8	2	no	—
139	C₄×D₄	—	8	2	no	—
140	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₄×D₄	#41	1	2	yes	—
142	#117	—	4	4	no	—
143	#117	—	8	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	#107	—	4	4	no	—
162	#107	—	8	2	no	—
163	#106	—	2	2	no	—
164	#106	—	4	2	no	—
165	#106	—	8	1	no	—
166	#106	D₈	1	4	yes	complemented
167	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	#102	—	2	8	no	—
174	#102	—	4	2	no	—
175	#102	—	4	4	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#102	—	8	2	no	—
178	#102	—	8	2	no	—
179	#102	—	8	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
181	#97	—	4	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	8	2	no	—
187	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
189	#95	—	2	1	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	#95	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	2	1	no	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	1	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	8	2	no	—
212	C₂×D₄	—	8	2	no	—
213	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
231	D₈	—	4	8	no	—
232	D₈	—	8	4	no	—
233	D₈	—	8	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	1	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	8	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
266	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
275	C₄²	—	4	1	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	1	no	—
279	C₄²	—	8	4	no	—
280	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	1	no	—
287	C₂³	—	4	1	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
297	D₄	—	2	2	no	—
298	D₄	—	2	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	4	4	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	2	no	—
307	D₄	—	8	2	no	—
308	D₄	—	8	2	no	—
309	D₄	—	16	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	16	8	no	—
331	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	4	2	no	—
345	C₈	—	4	2	no	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₈	—	8	1	no	—
348	C₈	—	8	1	no	—
349	C₈	C₄×D₈	1	4	yes	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3268	1	2	yes	—
364	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3288	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	4	4	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	16	2	no	—
374	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2943	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3347	1	2	yes	—
379	C₄	#3358	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3361	1	1	yes	characteristic
381	C₂	—	8	2	no	—
382	C₂	—	16	4	no	—
383	C₂	#19759	1	2	yes	—
384	C₂	#19855	1	2	yes	—
385	C₂	#22995	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#23031	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#23048	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1667	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23188	C₂	semidirect
2. #23093	C₂	semidirect
3. #22657	C₂	semidirect
5. #9837	C₂	semidirect
6. #9617	C₂	semidirect
7. #9563	C₂	semidirect
8. #8980	C₂	semidirect
9. #8920	C₂	semidirect
10. #8285	C₂	semidirect
11. #8202	C₂	semidirect
37. #1667	C₄	semidirect
58. #459	C₂×C₄	semidirect
61. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
101. #335	C₂×C₄	semidirect
102. #331	C₂×C₄	semidirect
166. #106	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23188	2
#23093	2
#22657	2
C₂×#1667	2
#9837	2
#9617	2
#9563	2
#8980	2
#8920	2
#8285	2
#8202	2