Subgroups — #22995

Order 256.

585 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 270 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1947	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1934	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
19	#459	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₄×D₈	—	2	8	no	—
21	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#390	—	2	1	no	—
31	#390	C₂²	1	2	yes	—
32	#389	C₂²	1	2	yes	—
33	#386	—	2	2	no	—
34	#385	—	2	2	no	—
35	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#380	—	2	1	no	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
50	C₂×D₈	—	2	4	no	—
51	C₂×D₈	—	2	4	no	—
52	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#127	—	2	2	no	—
57	#127	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₄×D₄	—	4	2	no	—
62	C₄×D₄	—	4	2	no	—
63	C₄×D₄	—	4	4	no	—
64	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#107	—	2	4	no	—
84	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
85	#102	—	2	2	no	—
86	#102	—	2	4	no	—
87	#102	—	4	2	no	—
88	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	#102	D₄	1	4	yes	complemented
90	C₄×C₈	—	2	4	no	—
91	C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	#95	—	2	1	no	—
93	#95	—	2	2	no	—
94	#95	D₄	1	2	yes	—
95	C₂⁴	—	2	1	no	—
96	C₂⁴	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄	—	2	1	no	—
101	C₂×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂×D₄	—	2	1	no	—
104	C₂×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂×D₄	—	8	1	no	—
110	C₂×D₄	—	8	1	no	—
111	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	D₈	—	2	16	no	—
134	C₂×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
153	C₄⋊C₄	D₈	1	4	yes	complemented
154	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
161	C₄²	—	2	2	no	—
162	C₄²	—	2	2	no	—
163	C₄²	—	4	2	no	—
164	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄²	#41	1	2	yes	—
166	C₂³	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	2	2	no	—
168	C₂³	—	2	2	no	—
169	C₂³	—	2	4	no	—
170	C₂³	—	4	1	no	—
171	C₂³	—	4	1	no	—
172	C₂³	—	4	1	no	—
173	C₂³	—	4	1	no	—
174	C₂³	—	4	2	no	—
175	C₂³	—	4	2	no	—
176	C₂³	—	4	2	no	—
177	C₂³	—	4	2	no	—
178	C₂³	—	4	2	no	—
179	C₂³	—	4	2	no	—
180	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	D₄	—	2	4	no	—
182	D₄	—	2	2	no	—
183	D₄	—	2	4	no	—
184	D₄	—	2	2	no	—
185	D₄	—	2	2	no	—
186	D₄	—	4	2	no	—
187	D₄	—	4	2	no	—
188	D₄	—	4	8	no	—
189	D₄	—	8	4	no	—
190	D₄	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂×C₄	—	8	8	no	—
212	C₂×C₄	—	8	8	no	—
213	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₈	—	2	4	no	—
225	C₈	—	2	2	no	—
226	C₈	—	4	1	no	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	4	2	no	—
229	C₂²	—	4	2	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	—	4	2	no	—
233	C₂²	—	4	2	no	—
234	C₂²	—	4	4	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	4	no	—
237	C₂²	—	8	2	no	—
238	C₂²	—	8	2	no	—
239	C₂²	—	8	2	no	—
240	C₂²	—	8	2	no	—
241	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
248	C₄	—	2	2	no	—
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	—	4	2	no	—
251	C₄	—	4	2	no	—
252	C₄	—	4	2	no	—
253	C₄	—	8	1	no	—
254	C₄	—	8	2	no	—
255	C₄	C₄×D₈	1	4	yes	complemented
256	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
258	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
259	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
260	C₂	—	4	4	no	—
261	C₂	—	8	4	no	—
262	C₂	#2361	1	1	yes	characteristic
263	C₂	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂	#2946	1	1	yes	characteristic
265	C₂	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂	#3284	1	1	yes	characteristic
267	C₂	#3358	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#3361	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#459	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₈	C₂	semidirect
3. #2366	C₂	semidirect
4. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #1957	C₂	semidirect
6. #1947	C₂	semidirect
7. #1934	C₂	semidirect
8. #1879	C₂	semidirect
9. #1862	C₂	semidirect
10. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₄×#102	C₂	semidirect
19. #459	C₄	semidirect
52. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
57. #127	C₂×C₄	semidirect
64. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
84. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
88. #102	C₂×C₄	semidirect
89. #102	D₄	semidirect
153. C₄⋊C₄	D₈	semidirect
190. D₄	C₄×D₄	semidirect
255. C₄	C₄×D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#459	2
C₂×C₄×D₈	2
#2366	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#1957	2
#1947	2
#1934	2
#1879	2
#1862	2
C₈×C₄⋊C₄	2
C₄×#102	2