Subgroups — #22997

Order 256.

533 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 252 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1934	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1880	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1864	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#460	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
20	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#390	—	2	1	no	—
30	#390	C₂²	1	2	yes	—
31	#389	—	2	2	no	—
32	#389	C₂²	1	2	yes	—
33	#386	—	2	2	no	—
34	#384	—	2	1	no	—
35	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
48	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#127	—	2	2	no	—
55	#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
57	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
59	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₄×D₄	—	2	4	no	—
61	C₄×D₄	—	4	2	no	—
62	C₄×D₄	—	4	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#106	—	2	4	no	—
83	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	#103	—	2	2	no	—
85	#103	D₄	1	4	yes	complemented
86	#102	—	2	4	no	—
87	#102	—	4	2	no	—
88	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	C₄×C₈	—	2	4	no	—
90	C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	#95	—	2	2	no	—
92	#95	—	2	1	no	—
93	#95	D₄	1	2	yes	—
94	C₂⁴	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
97	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×Q₈	#41	1	2	yes	—
101	C₂×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂×D₄	—	8	1	no	—
111	C₂×D₄	—	8	1	no	—
112	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	SD₁₆	—	2	16	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
147	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
148	C₄⋊C₄	SD₁₆	1	4	yes	complemented
149	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
154	C₄²	—	2	4	no	—
155	C₄²	—	2	2	no	—
156	C₄²	—	2	2	no	—
157	C₄²	—	4	4	no	—
158	C₄²	—	4	2	no	—
159	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂³	—	2	4	no	—
162	C₂³	—	4	2	no	—
163	C₂³	—	4	2	no	—
164	C₂³	—	4	2	no	—
165	C₂³	—	4	2	no	—
166	C₂³	—	4	2	no	—
167	C₂³	—	4	2	no	—
168	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	Q₈	—	2	2	no	—
170	Q₈	—	2	2	no	—
171	Q₈	—	2	2	no	—
172	Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
173	D₄	—	2	4	no	—
174	D₄	—	2	4	no	—
175	D₄	—	4	2	no	—
176	D₄	—	4	2	no	—
177	D₄	—	4	8	no	—
178	D₄	—	8	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	8	8	no	—
202	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
205	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₈	—	2	4	no	—
214	C₈	—	2	2	no	—
215	C₈	—	4	1	no	—
216	C₂²	—	4	4	no	—
217	C₂²	—	4	4	no	—
218	C₂²	—	4	4	no	—
219	C₂²	—	8	2	no	—
220	C₂²	—	8	2	no	—
221	C₂²	—	8	2	no	—
222	C₂²	—	8	2	no	—
223	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
230	C₄	—	2	4	no	—
231	C₄	—	2	2	no	—
232	C₄	—	2	4	no	—
233	C₄	—	4	2	no	—
234	C₄	—	4	2	no	—
235	C₄	—	4	2	no	—
236	C₄	—	8	1	no	—
237	C₄	—	8	2	no	—
238	C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	complemented
239	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
241	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
242	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
243	C₂	—	8	4	no	—
244	C₂	#2361	1	1	yes	characteristic
245	C₂	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#2946	1	1	yes	characteristic
247	C₂	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
248	C₂	#3287	1	1	yes	characteristic
249	C₂	#3362	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#3365	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×SD₁₆	C₂	semidirect
4. Q₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
6. #1948	C₂	semidirect
7. #1934	C₂	semidirect
8. #1880	C₂	semidirect
9. #1864	C₂	semidirect
10. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₄×#103	C₂	semidirect
18. #460	C₄	semidirect
50. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
59. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
83. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
85. #103	D₄	semidirect
88. #102	C₂×C₄	semidirect
148. C₄⋊C₄	SD₁₆	semidirect
172. Q₈	C₄×D₄	semidirect
238. C₄	C₄×SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#460	2
C₂×C₄×SD₁₆	2
#2366	2
Q₈×C₄⋊C₄	2
#1957	2
#1948	2
#1934	2
#1880	2
#1864	2
C₈×C₄⋊C₄	2
C₄×#103	2