Subgroups — #23016

Order 256.

440 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 273 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#444	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2935	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1938	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
15	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#464	C₄	1	2	yes	complemented
18	#463	C₄	1	2	yes	complemented
19	#462	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#461	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#460	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	#459	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#444	—	2	8	no	—
24	#436	—	2	1	no	—
25	#435	—	2	2	no	—
26	C₈×D₄	—	2	1	no	—
27	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
28	#424	—	2	2	no	—
29	#424	C₂²	1	2	yes	—
30	#423	—	2	1	no	—
31	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#416	C₂²	1	2	yes	—
40	#408	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#341	C₂²	1	2	yes	—
45	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#336	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#135	—	2	4	no	—
51	#135	—	2	4	no	—
52	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#131	—	2	4	no	—
57	#131	—	2	4	no	—
58	#131	—	4	2	no	—
59	#131	—	4	2	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#121	—	2	1	no	—
73	#121	—	2	1	no	—
74	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄×D₄	—	2	1	no	—
77	C₄×D₄	—	2	1	no	—
78	C₄×D₄	—	2	1	no	—
79	C₄×D₄	—	2	1	no	—
80	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#117	—	2	1	no	—
83	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#108	—	2	4	no	—
91	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
101	#104	—	2	2	no	—
102	#104	—	2	4	no	—
103	#104	—	4	2	no	—
104	#104	D₄	1	4	yes	complemented
105	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
111	#97	—	2	4	no	—
112	#97	—	2	1	no	—
113	C₄×C₈	—	2	1	no	—
114	#41	—	2	1	no	—
115	#41	—	2	1	no	—
116	#41	—	2	2	no	—
117	#41	—	2	2	no	—
118	#41	—	2	2	no	—
119	#41	—	2	2	no	—
120	#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	#41	#41	1	2	yes	—
122	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	Q₁₆	—	2	4	no	—
140	SD₁₆	—	2	4	no	—
141	SD₁₆	—	2	4	no	—
142	D₈	—	2	4	no	—
143	M₁₆	—	2	1	no	—
144	M₁₆	—	2	2	no	—
145	M₁₆	—	2	1	no	—
146	M₁₆	—	2	2	no	—
147	M₁₆	—	2	1	no	—
148	M₁₆	—	4	4	no	—
149	M₁₆	—	4	4	no	—
150	M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	—	4	4	no	—
159	C₂×C₈	—	4	4	no	—
160	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄²	—	2	1	no	—
176	C₄²	—	2	1	no	—
177	C₄²	—	2	1	no	—
178	C₄²	—	2	1	no	—
179	C₄²	—	2	1	no	—
180	C₄²	—	2	1	no	—
181	C₄²	—	4	2	no	—
182	C₄²	—	4	2	no	—
183	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂³	—	2	1	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	2	1	no	—
192	Q₈	—	2	2	no	—
193	Q₈	—	2	2	no	—
194	Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
195	D₄	—	2	2	no	—
196	D₄	—	2	2	no	—
197	D₄	—	2	2	no	—
198	D₄	—	2	1	no	—
199	D₄	—	2	2	no	—
200	D₄	—	4	2	no	—
201	D₄	—	4	2	no	—
202	D₄	—	4	2	no	—
203	D₄	—	8	1	no	—
204	D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂×C₄	—	8	1	no	—
223	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₈	—	2	2	no	—
234	C₈	—	2	2	no	—
235	C₈	—	2	2	no	—
236	C₈	—	2	2	no	—
237	C₈	—	2	2	no	—
238	C₈	—	4	2	no	—
239	C₈	—	4	1	no	—
240	C₂²	—	2	1	no	—
241	C₂²	—	2	1	no	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	4	1	no	—
244	C₂²	—	4	1	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	#553	1	1	yes	characteristic
251	C₄	—	2	2	no	—
252	C₄	—	2	1	no	—
253	C₄	—	2	1	no	—
254	C₄	—	2	1	no	—
255	C₄	—	4	2	no	—
256	C₄	—	4	2	no	—
257	C₄	—	4	2	no	—
258	C₄	—	4	1	no	—
259	C₄	—	4	1	no	—
260	C₄	#444	1	2	yes	complemented
261	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
263	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
264	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
265	C₂	—	2	1	no	—
266	C₂	—	2	1	no	—
267	C₂	—	4	2	no	—
268	C₂	—	8	2	no	—
269	C₂	#2361	1	1	yes	characteristic
270	C₂	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#2956	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3035	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#444	C₂	semidirect
3. #2935	C₂	semidirect
4. #2906	C₂	semidirect
5. #1962	C₂	semidirect
6. #1950	C₂	semidirect
7. #1938	C₂	semidirect
8. #1876	C₂	semidirect
9. #1866	C₂	semidirect
10. #1767	C₂	semidirect
11. C₄×#104	C₂	semidirect
17. #464	C₄	semidirect
18. #463	C₄	semidirect
19. #462	C₄	semidirect
20. #461	C₄	semidirect
21. #460	C₄	semidirect
22. #459	C₄	semidirect
104. #104	D₄	semidirect
260. C₄	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3035	2
C₂×#444	2
#2935	2
#2906	2
#1962	2
#1950	2
#1938	2
#1876	2
#1866	2
#1767	2
C₄×#104	2