Subgroups — #23018

Order 256.

446 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 273 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2933	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1945	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1871	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#525	C₂²	1	2	yes	—
17	#467	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#467	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#466	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#466	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#465	C₄	1	2	yes	complemented
22	#465	C₄	1	2	yes	complemented
23	#443	—	2	4	no	—
24	#436	—	2	2	no	—
25	#435	—	2	2	no	—
26	#435	—	2	2	no	—
27	C₈×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂×#108	—	2	4	no	—
29	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#424	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
36	#416	C₂²	1	2	yes	—
37	#408	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#405	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#339	C₂²	1	2	yes	—
44	#339	C₂²	1	2	yes	—
45	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#135	—	2	2	no	—
50	#135	—	2	2	no	—
51	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	#131	—	2	4	no	—
55	#131	—	4	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
60	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#123	—	2	2	no	—
75	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#120	—	2	2	no	—
80	C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#108	—	2	4	no	—
87	#108	—	2	2	no	—
88	#108	D₄	1	4	yes	complemented
89	#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
94	#104	—	2	4	no	—
95	#104	—	4	2	no	—
96	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#97	—	2	2	no	—
107	C₄×C₈	—	2	2	no	—
108	C₄×C₈	—	2	2	no	—
109	C₄×C₈	—	2	2	no	—
110	#95	—	2	1	no	—
111	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
112	#41	—	2	2	no	—
113	#41	—	2	2	no	—
114	#41	—	2	2	no	—
115	#41	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	Q₁₆	—	2	2	no	—
135	SD₁₆	—	2	4	no	—
136	D₈	—	2	2	no	—
137	M₁₆	—	2	2	no	—
138	M₁₆	—	2	2	no	—
139	M₁₆	—	2	2	no	—
140	M₁₆	—	4	4	no	—
141	M₁₆	—	4	4	no	—
142	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	4	4	no	—
156	C₂×C₈	—	4	4	no	—
157	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	1	no	—
179	C₄²	—	2	1	no	—
180	C₄²	—	2	1	no	—
181	C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	2	1	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	4	1	no	—
187	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	Q₈	—	2	2	no	—
191	Q₈	—	2	2	no	—
192	D₄	—	2	2	no	—
193	D₄	—	2	2	no	—
194	D₄	—	4	2	no	—
195	D₄	—	4	2	no	—
196	D₄	—	4	4	no	—
197	D₄	—	8	2	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₈	—	2	1	no	—
228	C₈	—	2	1	no	—
229	C₈	—	2	1	no	—
230	C₈	—	2	1	no	—
231	C₈	—	2	4	no	—
232	C₈	—	2	1	no	—
233	C₈	—	2	1	no	—
234	C₈	—	4	2	no	—
235	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²	—	2	1	no	—
238	C₂²	—	2	1	no	—
239	C₂²	—	2	1	no	—
240	C₂²	—	2	1	no	—
241	C₂²	—	2	1	no	—
242	C₂²	—	2	1	no	—
243	C₂²	—	2	1	no	—
244	C₂²	—	4	2	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	#443	1	2	yes	complemented
250	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	#553	1	1	yes	characteristic
253	C₄	—	2	1	no	—
254	C₄	—	2	1	no	—
255	C₄	—	4	2	no	—
256	C₄	—	4	2	no	—
257	C₄	—	4	2	no	—
258	C₄	—	4	2	no	—
259	C₄	—	4	2	no	—
260	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
262	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
263	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
264	C₂	—	2	1	no	—
265	C₂	—	2	1	no	—
266	C₂	—	2	2	no	—
267	C₂	—	4	1	no	—
268	C₂	—	8	2	no	—
269	C₂	#2361	1	1	yes	characteristic
270	C₂	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#2957	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3050	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#443	C₂	semidirect
3. #2933	C₂	semidirect
4. C₂²×#108	C₂	semidirect
5. #1974	C₂	semidirect
6. #1945	C₂	semidirect
7. #1929	C₂	semidirect
8. #1871	C₂	semidirect
9. #1866	C₂	semidirect
10. #1772	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
17. #467	C₄	semidirect
18. #467	C₄	semidirect
19. #466	C₄	semidirect
20. #466	C₄	semidirect
21. #465	C₄	semidirect
22. #465	C₄	semidirect
88. #108	D₄	semidirect
249. C₂²	#443	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3050	2
C₂×#443	2
#2933	2
C₂²×#108	2
#1974	2
#1945	2
#1929	2
#1871	2
#1866	2
#1772	2
C₈×C₂²⋊C₄	2