Subgroups — #23020

Order 256.

437 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 248 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3054	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2933	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1945	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1871	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#525	C₂²	1	2	yes	—
17	#470	C₄	1	2	yes	complemented
18	#469	C₄	1	2	yes	complemented
19	#468	C₄	1	2	yes	complemented
20	#468	C₄	1	2	yes	complemented
21	#443	—	2	4	no	—
22	#436	—	2	2	no	—
23	#435	—	2	2	no	—
24	#435	—	2	2	no	—
25	C₈×D₄	—	2	2	no	—
26	#430	—	2	4	no	—
27	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#424	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
34	#416	C₂²	1	2	yes	—
35	#408	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#405	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#339	C₂²	1	2	yes	—
42	#339	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#135	—	2	2	no	—
48	#135	—	2	2	no	—
49	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	#131	—	2	4	no	—
53	#131	—	4	2	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
60	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#123	—	2	2	no	—
71	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#120	—	2	2	no	—
76	C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄	—	2	2	no	—
78	#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#108	—	2	4	no	—
83	#108	—	2	2	no	—
84	#108	D₄	1	4	yes	complemented
85	#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
90	#104	—	2	4	no	—
91	#104	—	4	2	no	—
92	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
100	#97	—	2	2	no	—
101	#97	—	2	2	no	—
102	C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	C₄×C₈	—	2	2	no	—
104	#95	—	2	1	no	—
105	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
106	#41	—	2	2	no	—
107	#41	—	2	2	no	—
108	#41	—	2	2	no	—
109	#41	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	Q₁₆	—	2	2	no	—
127	SD₁₆	—	2	4	no	—
128	D₈	—	2	2	no	—
129	M₁₆	—	2	2	no	—
130	M₁₆	—	2	4	no	—
131	M₁₆	—	2	4	no	—
132	M₁₆	—	2	2	no	—
133	M₁₆	—	2	2	no	—
134	M₁₆	—	4	4	no	—
135	M₁₆	—	4	4	no	—
136	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	4	4	no	—
146	C₂×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
155	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	1	no	—
167	C₄²	—	2	1	no	—
168	C₄²	—	2	1	no	—
169	C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂³	—	2	1	no	—
171	C₂³	—	2	1	no	—
172	C₂³	—	2	2	no	—
173	C₂³	—	4	1	no	—
174	C₂³	—	4	1	no	—
175	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
176	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	Q₈	—	2	2	no	—
178	Q₈	—	2	2	no	—
179	D₄	—	2	2	no	—
180	D₄	—	2	2	no	—
181	D₄	—	4	4	no	—
182	D₄	—	4	2	no	—
183	D₄	—	4	2	no	—
184	D₄	—	8	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₈	—	2	2	no	—
210	C₈	—	2	1	no	—
211	C₈	—	2	1	no	—
212	C₈	—	2	4	no	—
213	C₈	—	2	2	no	—
214	C₈	—	4	2	no	—
215	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²	—	2	1	no	—
218	C₂²	—	2	1	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	2	2	no	—
221	C₂²	—	2	2	no	—
222	C₂²	—	4	2	no	—
223	C₂²	—	4	2	no	—
224	C₂²	—	4	2	no	—
225	C₂²	—	8	1	no	—
226	C₂²	—	8	1	no	—
227	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	#553	1	1	yes	characteristic
230	C₄	—	2	2	no	—
231	C₄	—	4	2	no	—
232	C₄	—	4	2	no	—
233	C₄	—	4	2	no	—
234	C₄	—	4	2	no	—
235	C₄	—	8	1	no	—
236	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
238	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
239	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
240	C₂	—	2	1	no	—
241	C₂	—	2	1	no	—
242	C₂	—	4	2	no	—
243	C₂	—	8	2	no	—
244	C₂	#2361	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#2956	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3054	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#443	C₂	semidirect
3. #2933	C₂	semidirect
4. C₂×#430	C₂	semidirect
5. #1975	C₂	semidirect
6. #1945	C₂	semidirect
7. #1929	C₂	semidirect
8. #1871	C₂	semidirect
9. #1866	C₂	semidirect
10. #1773	C₂	semidirect
11. #1753	C₂	semidirect
17. #470	C₄	semidirect
18. #469	C₄	semidirect
19. #468	C₄	semidirect
20. #468	C₄	semidirect
84. #108	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3054	2
C₂×#443	2
#2933	2
C₂×#430	2
#1975	2
#1945	2
#1929	2
#1871	2
#1866	2
#1773	2
#1753	2