Subgroups — #23027

Order 256.

525 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 256 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1942	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1926	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1875	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1864	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
17	#466	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×D₈	—	2	4	no	—
19	#427	—	2	4	no	—
20	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#390	—	2	2	no	—
31	#390	C₂²	1	2	yes	—
32	#389	C₂²	1	2	yes	—
33	#388	—	2	2	no	—
34	#386	—	2	2	no	—
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#340	C₂²	1	2	yes	—
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#121	—	2	4	no	—
57	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₄×D₄	—	4	2	no	—
60	#117	—	2	4	no	—
61	#117	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#107	—	2	2	no	—
78	#107	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	#107	D₄	1	4	yes	complemented
80	#106	—	2	4	no	—
81	#102	—	2	4	no	—
82	#102	—	4	2	no	—
83	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
84	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	#95	—	2	2	no	—
88	#95	—	2	2	no	—
89	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂⁴	—	2	2	no	—
92	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄	—	8	2	no	—
100	C₂×D₄	—	8	2	no	—
101	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	D₈	—	2	8	no	—
121	C₂×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
134	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
139	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
148	C₄²	—	2	1	no	—
149	C₄²	—	2	1	no	—
150	C₄²	—	2	1	no	—
151	C₄²	—	2	1	no	—
152	C₄²	—	4	4	no	—
153	C₄²	—	8	2	no	—
154	C₂³	—	2	1	no	—
155	C₂³	—	2	1	no	—
156	C₂³	—	2	1	no	—
157	C₂³	—	2	1	no	—
158	C₂³	—	2	1	no	—
159	C₂³	—	2	1	no	—
160	C₂³	—	2	4	no	—
161	C₂³	—	4	2	no	—
162	C₂³	—	4	2	no	—
163	C₂³	—	4	2	no	—
164	C₂³	—	4	2	no	—
165	C₂³	—	4	2	no	—
166	C₂³	—	4	2	no	—
167	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	D₄	—	2	4	no	—
170	D₄	—	2	4	no	—
171	D₄	—	4	2	no	—
172	D₄	—	4	2	no	—
173	D₄	—	8	8	no	—
174	C₂×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	8	8	no	—
200	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₈	—	2	2	no	—
210	C₈	—	4	1	no	—
211	C₈	—	4	1	no	—
212	C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²	—	2	2	no	—
214	C₂²	—	2	2	no	—
215	C₂²	—	2	2	no	—
216	C₂²	—	4	1	no	—
217	C₂²	—	4	1	no	—
218	C₂²	—	4	1	no	—
219	C₂²	—	4	1	no	—
220	C₂²	—	4	4	no	—
221	C₂²	—	4	4	no	—
222	C₂²	—	4	4	no	—
223	C₂²	—	8	2	no	—
224	C₂²	—	8	2	no	—
225	C₂²	—	8	2	no	—
226	C₂²	—	8	2	no	—
227	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
230	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
231	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
232	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
233	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
234	C₄	—	2	2	no	—
235	C₄	—	2	2	no	—
236	C₄	—	2	2	no	—
237	C₄	—	4	1	no	—
238	C₄	—	4	4	no	—
239	C₄	—	4	4	no	—
240	C₄	—	4	1	no	—
241	C₄	—	8	2	no	—
242	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
244	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
245	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
246	C₂	—	4	2	no	—
247	C₂	—	8	4	no	—
248	C₂	#2361	1	1	yes	characteristic
249	C₂	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#2948	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#3280	1	1	yes	characteristic
252	C₂	#3287	1	1	yes	characteristic
253	C₂	#3339	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#3341	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#466	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₈	C₂	semidirect
3. C₂×#427	C₂	semidirect
4. #2363	C₂	semidirect
5. #1970	C₂	semidirect
6. #1942	C₂	semidirect
7. #1926	C₂	semidirect
8. #1875	C₂	semidirect
9. #1864	C₂	semidirect
10. C₄×#107	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
17. #466	C₄	semidirect
51. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
57. #121	C₂×C₄	semidirect
78. #107	C₂×C₄	semidirect
79. #107	D₄	semidirect
83. #102	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#466	2
C₂×C₄×D₈	2
C₂×#427	2
#2363	2
#1970	2
#1942	2
#1926	2
#1875	2
#1864	2
C₄×#107	2
C₈×C₂²⋊C₄	2