Subgroups — #23083

Order 256.

520 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1954	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₈×D₄	—	2	4	no	—
18	#431	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#390	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#389	C₄	1	1	yes	characteristic
34	#388	C₄	1	2	yes	—
35	#386	C₄	1	2	yes	—
36	#380	C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#121	C₈	1	8	yes	complemented
59	C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₄×D₄	—	4	2	no	—
62	C₄×D₄	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
81	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
82	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
88	C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₄×C₈	—	4	2	no	—
92	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂×D₄	—	4	2	no	—
101	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
102	C₂×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
120	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	4	8	no	—
146	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
148	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
149	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
153	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
158	C₄²	—	2	2	no	—
159	C₄²	—	2	2	no	—
160	C₄²	—	2	1	no	—
161	C₄²	—	2	1	no	—
162	C₄²	—	2	2	no	—
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₄²	#41	1	2	yes	—
166	C₂³	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	2	1	no	—
168	C₂³	—	2	1	no	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	—	2	1	no	—
171	C₂³	—	2	2	no	—
172	C₂³	—	2	2	no	—
173	C₂³	—	2	1	no	—
174	C₂³	—	2	1	no	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	1	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	C₂²×C₈	1	4	yes	—
179	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
180	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	D₄	—	2	8	no	—
182	D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
213	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
214	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
223	C₈	—	2	2	no	—
224	C₈	—	2	4	no	—
225	C₈	—	2	2	no	—
226	C₈	—	4	1	no	—
227	C₈	—	4	2	no	—
228	C₈	—	4	1	no	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	2	4	no	—
232	C₂²	—	2	2	no	—
233	C₂²	—	2	2	no	—
234	C₂²	—	2	4	no	—
235	C₂²	—	4	2	no	—
236	C₂²	—	4	1	no	—
237	C₂²	—	4	1	no	—
238	C₂²	—	4	2	no	—
239	C₂²	—	4	1	no	—
240	C₂²	—	4	2	no	—
241	C₂²	—	4	1	no	—
242	C₂²	—	4	2	no	—
243	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
250	C₄	—	2	2	no	—
251	C₄	—	2	2	no	—
252	C₄	—	2	2	no	—
253	C₄	—	2	4	no	—
254	C₄	—	4	1	no	—
255	C₄	—	4	2	no	—
256	C₄	—	4	2	no	—
257	C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
258	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
259	C₄	#550	1	1	yes	characteristic
260	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
261	C₄	#555	1	1	yes	characteristic
262	C₂	—	4	2	no	—
263	C₂	—	4	4	no	—
264	C₂	#2363	1	1	yes	characteristic
265	C₂	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂	#2933	1	1	yes	characteristic
267	C₂	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#2969	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#2972	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#2979	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#121	C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
2. C₂×#431	C₂	semidirect
4. #1954	C₂	semidirect
5. #1954	C₂	semidirect
6. #1939	C₂	semidirect
7. #1923	C₂	semidirect
8. #1869	C₂	semidirect
9. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
10. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
58. #121	C₈	semidirect
81. C₄⋊C₈	D₄	semidirect
102. C₂×D₄	C₂×C₈	semidirect
120. C₂²×C₄	C₂×C₈	semidirect
152. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
157. C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×D₄	2
C₂×#431	2
C₄×#121	2
#1954	2
#1939	2
#1923	2
#1869	2
C₈×C₄⋊C₄	2
C₈×C₂²⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊C₈	2