Subgroups — #23093

Order 256.

521 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1970	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1947	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1925	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#117	—	2	1	no	—
18	#459	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#390	—	2	1	no	—
29	#390	C₂²	1	2	yes	—
30	#390	C₂²	1	2	yes	—
31	#388	—	2	2	no	—
32	#386	—	2	2	no	—
33	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#380	—	2	1	no	—
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#340	C₂²	1	2	yes	—
39	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
48	C₂×D₈	—	4	2	no	—
49	C₂×D₈	—	4	2	no	—
50	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#127	—	2	2	no	—
55	#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₄×D₄	—	4	2	no	—
59	C₄×D₄	—	4	4	no	—
60	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	#117	—	4	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#107	—	4	2	no	—
81	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
82	#102	—	2	4	no	—
83	#102	—	2	2	no	—
84	#102	—	2	2	no	—
85	#102	—	4	2	no	—
86	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₄×C₈	—	4	2	no	—
89	#95	—	2	2	no	—
90	#95	—	2	1	no	—
91	#95	D₄	1	2	yes	—
92	C₂⁴	—	2	1	no	—
93	C₂⁴	—	2	2	no	—
94	C₂×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄	—	2	1	no	—
98	C₂×D₄	—	2	1	no	—
99	C₂×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄	—	2	1	no	—
101	C₂×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂×D₄	—	8	1	no	—
109	C₂×D₄	—	8	1	no	—
110	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
122	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	D₈	—	4	8	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
146	C₄⋊C₄	D₈	1	4	yes	complemented
147	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
155	C₄²	—	2	2	no	—
156	C₄²	—	2	2	no	—
157	C₄²	—	4	4	no	—
158	C₄²	—	4	2	no	—
159	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	2	4	no	—
163	C₂³	—	4	2	no	—
164	C₂³	—	4	1	no	—
165	C₂³	—	4	2	no	—
166	C₂³	—	4	1	no	—
167	C₂³	—	4	1	no	—
168	C₂³	—	4	2	no	—
169	C₂³	—	4	1	no	—
170	C₂³	—	4	2	no	—
171	C₂³	—	4	1	no	—
172	C₂³	—	4	2	no	—
173	C₂³	—	4	2	no	—
174	C₂³	—	4	1	no	—
175	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	D₄	—	2	2	no	—
177	D₄	—	2	4	no	—
178	D₄	—	2	2	no	—
179	D₄	—	2	4	no	—
180	D₄	—	4	1	no	—
181	D₄	—	4	2	no	—
182	D₄	—	4	1	no	—
183	D₄	—	4	2	no	—
184	D₄	—	4	8	no	—
185	D₄	—	8	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	8	8	no	—
207	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	C₈	—	2	4	no	—
219	C₈	—	2	2	no	—
220	C₈	—	4	1	no	—
221	C₂²	—	4	2	no	—
222	C₂²	—	4	4	no	—
223	C₂²	—	4	2	no	—
224	C₂²	—	4	4	no	—
225	C₂²	—	4	4	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	8	1	no	—
228	C₂²	—	8	2	no	—
229	C₂²	—	8	1	no	—
230	C₂²	—	8	2	no	—
231	C₂²	—	8	2	no	—
232	C₂²	—	8	1	no	—
233	C₂²	—	8	2	no	—
234	C₂²	—	8	1	no	—
235	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#550	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
242	C₄	—	2	2	no	—
243	C₄	—	2	4	no	—
244	C₄	—	4	2	no	—
245	C₄	—	4	2	no	—
246	C₄	—	4	2	no	—
247	C₄	—	8	1	no	—
248	C₄	—	8	2	no	—
249	C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
250	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
252	C₄	#553	1	1	yes	characteristic
253	C₄	#555	1	1	yes	characteristic
254	C₂	—	8	2	no	—
255	C₂	—	8	4	no	—
256	C₂	#2363	1	1	yes	characteristic
257	C₂	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#2946	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#3294	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#3305	1	1	yes	characteristic
261	C₂	#3391	1	1	yes	characteristic
262	C₂	#3394	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#459	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2366	C₂	semidirect
3. #2354	C₂	semidirect
4. #1970	C₂	semidirect
5. #1957	C₂	semidirect
6. #1947	C₂	semidirect
7. #1925	C₂	semidirect
8. #1879	C₂	semidirect
9. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
10. C₄×#102	C₂	semidirect
11. C₄×#102	C₂	semidirect
18. #459	C₄	semidirect
50. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
60. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
81. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
86. #102	C₂×C₄	semidirect
146. C₄⋊C₄	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#459	2
#2366	2
#2354	2
#1970	2
#1957	2
#1947	2
#1925	2
#1879	2
C₈×C₄⋊C₄	2
C₄×#102	2