Subgroups — #231012

Order 512.

762 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22989	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#9556	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#1277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#466	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#435	—	2	2	no	—
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#121	C₂²	1	2	yes	—
17	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1954	C₂²	1	2	yes	—
19	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1939	C₂²	1	2	yes	—
21	#1934	C₄	1	2	yes	—
22	#1924	—	2	2	no	—
23	#1893	C₄	1	2	yes	—
24	#1869	—	2	2	no	—
25	#1851	—	2	2	no	—
26	#1808	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1770	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
35	#1279	C₂²	1	2	yes	—
36	#1279	C₂²	1	2	yes	—
37	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1277	C₂²	1	2	yes	—
39	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#466	—	2	4	no	—
51	C₄×D₈	—	4	2	no	—
52	#436	—	2	4	no	—
53	#436	—	4	2	no	—
54	#435	—	4	8	no	—
55	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×#97	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#388	—	2	2	no	—
83	#386	—	2	2	no	—
84	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	1	no	—
93	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
95	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
97	#322	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
104	C₂×D₈	—	2	2	no	—
105	C₂×D₈	—	4	1	no	—
106	C₂×D₈	—	4	1	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
121	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	#121	—	2	4	no	—
129	#121	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	4	4	no	—
135	C₄×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#107	—	2	2	no	—
153	#107	—	4	1	no	—
154	#107	—	4	1	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
160	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
161	#102	—	2	4	no	—
162	#102	—	2	4	no	—
163	#102	—	4	2	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
169	#97	—	4	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	4	1	no	—
177	C₄×C₈	—	4	1	no	—
178	#95	—	2	2	no	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	#95	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	D₈	—	4	4	no	—
221	M₁₆	—	8	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	8	8	no	—
249	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	#436	1	2	yes	—
285	C₂³	#442	1	2	yes	—
286	C₂³	#444	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	D₄	—	4	2	no	—
289	D₄	—	4	2	no	—
290	D₄	—	4	2	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	2	2	no	—
338	C₈	—	4	1	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	4	2	no	—
341	C₈	—	4	4	no	—
342	C₈	—	8	2	no	—
343	C₈	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	8	2	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	8	2	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	—	8	2	no	—
356	C₂²	—	8	2	no	—
357	C₂²	#1594	1	4	yes	—
358	C₂²	#2364	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	4	1	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	#2965	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2968	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2973	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2977	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#3308	1	2	yes	—
377	C₄	#3318	1	2	yes	—
378	C₂	—	2	4	no	—
379	C₂	—	16	2	no	—
380	C₂	C₂×#1594	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#17898	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#18073	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#18092	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#23120	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#23132	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#23147	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#466	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22989	C₂	semidirect
3. #9556	C₂	semidirect
4. #9540	C₂	semidirect
5. #8951	C₂	semidirect
6. #8939	C₂	semidirect
7. #8208	C₂	semidirect
8. #8144	C₂	semidirect
9. C₂×#1277	C₂	semidirect
121. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22989	2
C₄×#466	2
#9556	2
#9540	2
#8951	2
#8939	2
#8208	2
#8144	2
C₂×#1277	2