Subgroups — #2312

Order 128.

336 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#388	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#379	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂⁵	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
10	C₂×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄²	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#95	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#95	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂⁴	—	2	4	no	—
19	C₂⁴	—	4	2	no	—
20	C₂⁴	—	4	2	no	—
21	C₂⁴	C₂×C₄	1	4	yes	—
22	C₂⁴	C₂³	1	2	yes	—
23	C₂⁴	C₂³	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
25	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
26	C₂²×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
27	C₂²×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂²×C₄	C₂³	1	8	yes	—
29	C₂²×C₄	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄	C₂³	1	2	yes	—
31	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
32	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
33	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
34	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
35	C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₄²	—	4	4	no	—
37	C₂³	—	2	2	no	—
38	C₂³	—	2	2	no	—
39	C₂³	—	2	8	no	—
40	C₂³	—	2	4	no	—
41	C₂³	—	2	4	no	—
42	C₂³	—	2	4	no	—
43	C₂³	—	4	4	no	—
44	C₂³	—	4	4	no	—
45	C₂³	—	4	16	no	—
46	C₂³	C₂²×C₄	1	4	yes	—
47	C₂³	C₂²×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³	#41	1	4	yes	—
49	C₂³	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄	—	4	4	no	—
56	C₂×C₄	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²	—	2	2	no	—
60	C₂²	—	2	2	no	—
61	C₂²	—	2	8	no	—
62	C₂²	—	2	4	no	—
63	C₂²	—	2	4	no	—
64	C₂²	—	2	4	no	—
65	C₂²	—	4	16	no	—
66	C₂²	—	4	8	no	—
67	C₂²	#117	1	4	yes	—
68	C₂²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²	C₂×#41	1	2	yes	—
70	C₂²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
71	C₂²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
72	C₄	—	2	4	no	—
73	C₄	—	2	4	no	—
74	C₄	—	4	8	no	—
75	C₂	—	2	4	no	—
76	C₂	—	4	4	no	—
77	C₂	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
78	C₂	#518	1	1	yes	characteristic
79	C₂	#518	1	1	yes	characteristic
80	C₂	#538	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #388	C₂	semidirect
3. #380	C₂	semidirect
5. C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₂×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
10. C₂×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
15. C₂×C₄²	C₂²	semidirect
16. #95	C₂²	semidirect
17. #95	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊C₄	2
#388	2
#380	2
#379	2
C₄×C₂²⋊C₄	2