Subgroups — #231413

Order 512.

780 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1579	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9675	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8948	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8945	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#495	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
19	#1984	C₂²	1	2	yes	—
20	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1969	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1968	C₄	1	2	yes	—
23	#1958	C₄	1	2	yes	—
24	#1954	C₂²	1	2	yes	—
25	#1923	—	2	2	no	—
26	#1923	—	2	2	no	—
27	#1850	—	2	2	no	—
28	#1846	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1580	—	2	4	no	—
35	#1579	—	2	4	no	—
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1277	C₂²	1	2	yes	—
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	#495	C₈	1	8	yes	complemented
55	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₈×Q₈	—	4	2	no	—
57	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
58	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
59	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
60	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
61	C₄×D₈	—	2	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₈×D₄	—	2	4	no	—
64	C₈×D₄	—	4	2	no	—
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#388	—	2	2	no	—
95	#388	—	2	2	no	—
96	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	1	no	—
104	#336	D₄	1	2	yes	—
105	#334	—	2	2	no	—
106	#334	D₄	1	4	yes	—
107	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
108	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
109	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
110	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
111	#322	—	2	2	no	—
112	#322	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
119	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#124	—	2	4	no	—
139	#124	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	#107	—	2	2	no	—
165	#107	—	2	2	no	—
166	#106	—	4	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	#103	—	2	4	no	—
175	#103	—	4	2	no	—
176	#102	—	2	4	no	—
177	#102	—	4	2	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	2	1	no	—
188	C₄×C₈	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	2	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	4	1	no	—
194	C₄×C₈	—	4	4	no	—
195	C₄×C₈	—	8	2	no	—
196	C₄×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
199	#95	—	2	2	no	—
200	#95	—	2	2	no	—
201	#95	—	2	2	no	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	Q₁₆	—	2	8	no	—
233	SD₁₆	—	4	8	no	—
234	D₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	8	8	no	—
261	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	4	1	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
287	C₄²	#131	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	2	4	no	—
301	Q₈	—	2	4	no	—
302	Q₈	—	4	2	no	—
303	Q₈	—	4	2	no	—
304	D₄	—	2	4	no	—
305	D₄	—	2	4	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	4	1	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	8	1	no	—
354	C₈	—	8	1	no	—
355	C₈	—	8	2	no	—
356	C₈	C₈×D₄	1	4	yes	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2943	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2952	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	4	1	no	—
378	C₄	—	8	2	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2979	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#3275	1	2	yes	—
385	C₄	#3401	1	2	yes	—
386	C₂	—	8	4	no	—
387	C₂	#17849	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#17858	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#18075	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#18093	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#23173	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#23180	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#23189	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23204	C₂	semidirect
4. C₂×#1579	C₂	semidirect
5. #9675	C₂	semidirect
7. #9658	C₂	semidirect
8. #8948	C₂	semidirect
9. #8945	C₂	semidirect
10. C₄×#334	C₂	semidirect
11. #8260	C₂	semidirect
54. #495	C₈	semidirect
118. C₂×Q₁₆	C₂×C₈	semidirect
121. C₂×SD₁₆	C₂×C₈	semidirect
139. #124	C₂×C₈	semidirect
196. C₄×C₈	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23204	2
C₄×#495	2
C₂×#1580	2
C₂×#1579	2
#9675	2
#9659	2
#9658	2
#8948	2
#8945	2
C₄×#334	2
#8260	2