Subgroups — #231456

Order 512.

734 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1590	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9675	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9655	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8951	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8950	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#495	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
17	#1984	C₂²	1	2	yes	—
18	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1969	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1968	C₄	1	2	yes	—
21	#1958	C₄	1	2	yes	—
22	#1954	C₂²	1	2	yes	—
23	#1924	—	2	2	no	—
24	#1923	—	2	2	no	—
25	#1851	—	2	2	no	—
26	#1846	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1753	—	2	2	no	—
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1590	—	2	8	no	—
33	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	#1273	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	#495	—	2	4	no	—
50	#446	—	2	4	no	—
51	#446	—	4	2	no	—
52	C₄×Q₁₆	—	4	1	no	—
53	C₄×Q₁₆	—	4	1	no	—
54	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
55	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
56	C₄×D₈	—	4	1	no	—
57	C₄×D₈	—	4	1	no	—
58	#436	—	2	4	no	—
59	#436	—	4	2	no	—
60	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×#97	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#388	—	2	2	no	—
88	#388	—	2	2	no	—
89	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#336	—	2	1	no	—
97	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
98	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#334	—	2	2	no	—
100	#334	D₄	1	4	yes	—
101	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
102	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
104	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
105	C₈²	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	4	1	no	—
117	C₂×D₈	—	4	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	#124	—	2	4	no	—
131	#124	—	2	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#107	—	4	1	no	—
157	#107	—	4	1	no	—
158	#106	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
165	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	#103	—	2	4	no	—
167	#103	—	4	2	no	—
168	#102	—	2	4	no	—
169	#102	—	4	2	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
173	#97	—	4	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	4	1	no	—
183	C₄×C₈	—	8	2	no	—
184	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	#95	—	2	2	no	—
189	#95	—	2	2	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	C₂⁴	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	Q₁₆	—	4	4	no	—
221	SD₁₆	—	4	8	no	—
222	D₈	—	4	4	no	—
223	M₁₆	—	8	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
272	C₄²	#131	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	4	2	no	—
286	Q₈	—	4	2	no	—
287	Q₈	—	4	2	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	D₄	—	4	2	no	—
290	D₄	—	4	2	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	2	2	no	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₈	—	4	1	no	—
337	C₈	—	4	2	no	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₈	—	8	2	no	—
340	C₈	#436	1	4	yes	—
341	C₂²	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	2	no	—
347	C₂²	—	8	2	no	—
348	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2952	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	4	1	no	—
361	C₄	—	8	2	no	—
362	C₄	—	8	2	no	—
363	C₄	—	8	2	no	—
364	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2979	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#3282	1	2	yes	—
369	C₄	#3394	1	2	yes	—
370	C₂	—	16	2	no	—
371	C₂	#17886	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#17899	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#18070	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#18088	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#23176	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#23179	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#23183	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23208	C₂	semidirect
3. C₂×#1590	C₂	semidirect
4. #9675	C₂	semidirect
5. #9655	C₂	semidirect
7. #8950	C₂	semidirect
8. C₄×#334	C₂	semidirect
9. C₈×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
184. C₄×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23208	2
C₄×#495	2
C₂×#1590	2
#9675	2
#9655	2
#8951	2
#8950	2
C₄×#334	2
C₈×C₄⋊C₈	2