Subgroups — #231488

Order 512.

674 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17877	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9670	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8964	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8959	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8269	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#496	C₄	1	1	yes	characteristic
11	#2983	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2975	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2972	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1973	C₄	1	2	yes	—
19	#1972	C₄	1	2	yes	—
20	#1961	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1959	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1847	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1586	—	2	4	no	—
25	#1585	—	2	4	no	—
26	#1582	—	2	4	no	—
27	#1581	—	2	4	no	—
28	#1564	C₂²	1	2	yes	—
29	#1564	C₂²	1	2	yes	—
30	#1479	C₂²	1	2	yes	—
31	#1478	C₂²	1	2	yes	—
32	#1478	C₂²	1	2	yes	—
33	#1478	C₂²	1	2	yes	—
34	#1461	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1460	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1460	C₂²	1	2	yes	—
37	#1452	C₂²	1	2	yes	—
38	#1452	C₂²	1	2	yes	—
39	#1276	C₂²	1	2	yes	—
40	#1276	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#124	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#496	—	2	4	no	—
50	#446	—	2	4	no	—
51	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
53	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
55	C₄×D₈	—	2	2	no	—
56	C₄×D₈	—	2	2	no	—
57	C₄×D₈	—	2	2	no	—
58	C₄×D₈	—	2	2	no	—
59	#436	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	—	2	4	no	—
61	C₈×D₄	—	2	4	no	—
62	#432	—	4	1	no	—
63	#431	C₂³	1	2	yes	—
64	#431	C₂³	1	2	yes	—
65	#431	C₂³	1	2	yes	—
66	#431	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#407	—	4	1	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
75	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#390	—	4	1	no	—
81	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	#388	—	4	1	no	—
84	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
87	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#335	—	2	2	no	—
89	#335	D₄	1	4	yes	complemented
90	#334	—	2	2	no	—
91	#334	D₄	1	4	yes	complemented
92	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
93	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
94	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
95	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	#324	—	4	1	no	—
97	#323	—	4	1	no	—
98	#323	—	4	2	no	—
99	#322	—	2	2	no	—
100	#322	—	2	2	no	—
101	#322	—	2	2	no	—
102	#322	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	4	no	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	4	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	#127	—	4	1	no	—
122	#127	M₁₆	1	4	yes	complemented
123	#124	—	2	2	no	—
124	#124	—	4	1	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄×D₄	—	2	2	no	—
128	C₄×D₄	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	8	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	#107	—	2	2	no	—
151	#107	—	2	2	no	—
152	#106	—	2	2	no	—
153	#106	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
157	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	#103	—	2	2	no	—
160	#103	—	2	2	no	—
161	#102	—	2	2	no	—
162	#102	—	2	2	no	—
163	#102	—	2	2	no	—
164	#102	—	2	2	no	—
165	#102	—	2	2	no	—
166	#102	—	2	2	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
173	#97	—	2	2	no	—
174	#97	—	4	1	no	—
175	#97	—	4	2	no	—
176	#97	—	4	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
185	#95	—	4	1	no	—
186	#95	—	4	1	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	2	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	1	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	1	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	8	2	no	—
204	C₂×D₄	—	8	2	no	—
205	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
221	SD₁₆	—	4	4	no	—
222	SD₁₆	—	4	4	no	—
223	D₈	—	4	4	no	—
224	D₈	—	4	4	no	—
225	M₁₆	—	16	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	16	4	no	—
235	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	4	1	no	—
255	C₄²	—	4	1	no	—
256	C₄²	—	8	1	no	—
257	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	1	no	—
264	C₂³	—	4	1	no	—
265	C₂³	—	4	1	no	—
266	C₂³	—	8	2	no	—
267	C₂³	—	8	1	no	—
268	C₂³	—	8	1	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	4	2	no	—
272	Q₈	—	4	2	no	—
273	D₄	—	2	4	no	—
274	D₄	—	2	4	no	—
275	D₄	—	4	2	no	—
276	D₄	—	4	2	no	—
277	D₄	—	4	2	no	—
278	D₄	—	4	2	no	—
279	D₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	1	no	—
285	C₂×C₄	—	4	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	1	no	—
298	C₂×C₄	—	8	1	no	—
299	C₂×C₄	—	16	2	no	—
300	C₂×C₄	—	16	1	no	—
301	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	4	4	no	—
313	C₈	—	4	4	no	—
314	C₈	—	8	2	no	—
315	C₈	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	2	1	no	—
317	C₂²	—	2	1	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	—	8	2	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	8	2	no	—
323	C₂²	—	8	1	no	—
324	C₂²	—	8	1	no	—
325	C₂²	—	8	1	no	—
326	C₂²	—	16	2	no	—
327	C₂²	—	16	1	no	—
328	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2973	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2980	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	1	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	8	1	no	—
335	C₄	—	8	1	no	—
336	C₄	—	8	1	no	—
337	C₄	—	8	2	no	—
338	C₄	—	8	1	no	—
339	C₄	#2932	1	2	yes	—
340	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
341	C₄	#3288	1	2	yes	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	8	4	no	—
345	C₂	—	16	1	no	—
346	C₂	#23175	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#23197	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#23202	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	#2366
prime radical	C₂×#496	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17879	C₂	semidirect
3. #17877	C₂	semidirect
4. #9672	C₂	semidirect
5. #9670	C₂	semidirect
6. #8964	C₂	semidirect
7. #8961	C₂	semidirect
8. #8959	C₂	semidirect
9. #8269	C₂	semidirect
89. #335	D₄	semidirect
91. #334	D₄	semidirect
122. #127	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#496	2
#17879	2
#17877	2
#9672	2
#9670	2
#8964	2
#8961	2
#8959	2
#8269	2