Subgroups — #231539

Order 512.

625 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#18071	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9750	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9722	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9055	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3167	C₂²	1	2	yes	—
13	#3167	C₂²	1	2	yes	—
14	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2962	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#443	—	2	1	no	—
18	#2935	C₂²	1	2	yes	—
19	#1986	C₂²	1	2	yes	—
20	#1980	C₂²	1	2	yes	—
21	#1974	—	2	1	no	—
22	#1945	—	2	1	no	—
23	#1922	—	2	2	no	—
24	#1876	—	2	2	no	—
25	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1772	—	2	1	no	—
28	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1708	C₄	1	2	yes	complemented
31	#1707	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#1707	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1706	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#1706	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#1705	C₄	1	2	yes	complemented
36	#1592	—	2	2	no	—
37	#1588	—	2	2	no	—
38	#1585	—	2	2	no	—
39	SD₁₆⋊C₈	—	2	2	no	—
40	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1503	C₂²	1	2	yes	—
43	#1502	C₂²	1	2	yes	—
44	#1481	C₂²	1	2	yes	—
45	#1480	C₂²	1	2	yes	—
46	#1451	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1278	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂×#135	—	2	1	no	—
52	C₂×#135	—	2	1	no	—
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	#533	C₂³	1	2	yes	—
55	#532	C₂³	1	2	yes	—
56	#500	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	#500	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	#499	—	2	1	no	—
59	#499	—	2	1	no	—
60	#498	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#498	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#498	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#495	—	2	1	no	—
64	#495	—	2	1	no	—
65	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#487	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#487	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#486	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#486	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#465	—	2	2	no	—
75	#465	—	2	2	no	—
76	#465	—	4	2	no	—
77	#446	—	2	2	no	—
78	#446	—	4	2	no	—
79	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
80	#443	—	4	4	no	—
81	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
83	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
84	#436	—	2	2	no	—
85	#435	—	4	2	no	—
86	C₈×D₄	—	2	2	no	—
87	#431	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#427	—	2	1	no	—
91	#427	—	2	1	no	—
92	C₂×#107	—	2	1	no	—
93	#424	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#104	—	2	2	no	—
97	C₂×#104	—	2	2	no	—
98	#408	—	2	2	no	—
99	#405	—	2	2	no	—
100	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#341	D₄	1	2	yes	—
109	#340	—	2	1	no	—
110	#339	—	2	2	no	—
111	#339	—	2	2	no	—
112	#336	—	2	1	no	—
113	#336	—	2	1	no	—
114	#335	—	2	1	no	—
115	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
118	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
119	#334	—	2	1	no	—
120	#328	—	4	2	no	—
121	#327	—	4	2	no	—
122	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
123	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
124	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
125	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	#322	—	2	2	no	—
127	#322	—	2	2	no	—
128	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×#41	—	2	2	no	—
133	#135	—	4	2	no	—
134	#135	—	4	2	no	—
135	#135	—	8	1	no	—
136	#135	—	8	1	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
144	C₂×D₈	—	2	1	no	—
145	C₂×D₈	—	2	1	no	—
146	#131	—	4	4	no	—
147	#131	—	8	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	#125	—	2	2	no	—
164	#124	—	2	2	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	#121	—	2	2	no	—
168	#121	—	2	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	2	no	—
172	C₄×D₄	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#108	—	2	2	no	—
180	#108	—	2	2	no	—
181	#107	—	2	4	no	—
182	#107	—	2	1	no	—
183	#107	—	2	1	no	—
184	#107	—	2	1	no	—
185	#107	—	2	1	no	—
186	#106	—	2	2	no	—
187	#106	—	2	2	no	—
188	#106	—	2	2	no	—
189	#106	—	2	2	no	—
190	#106	—	4	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
196	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	#104	—	4	4	no	—
201	#104	—	8	2	no	—
202	#103	—	2	2	no	—
203	#103	—	2	2	no	—
204	#103	—	4	2	no	—
205	#102	—	2	2	no	—
206	#102	—	2	2	no	—
207	#102	—	4	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
211	#97	—	2	2	no	—
212	#97	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	4	2	no	—
217	C₄×C₈	—	4	2	no	—
218	C₄×C₈	—	4	2	no	—
219	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
228	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
229	#95	—	2	1	no	—
230	#95	—	2	1	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	2	no	—
233	#41	—	4	2	no	—
234	#41	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
248	Q₁₆	—	4	2	no	—
249	Q₁₆	—	8	1	no	—
250	SD₁₆	—	4	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	SD₁₆	—	8	2	no	—
253	SD₁₆	—	8	2	no	—
254	SD₁₆	—	8	4	no	—
255	D₈	—	4	2	no	—
256	D₈	—	8	1	no	—
257	M₁₆	—	2	2	no	—
258	M₁₆	—	2	2	no	—
259	M₁₆	—	2	2	no	—
260	M₁₆	—	2	2	no	—
261	M₁₆	—	8	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	8	4	no	—
281	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	4	1	no	—
308	C₄²	—	4	1	no	—
309	C₄²	—	4	1	no	—
310	C₄²	—	4	1	no	—
311	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	Q₈	—	8	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	8	2	no	—
327	D₄	—	8	2	no	—
328	D₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	1	no	—
340	C₂×C₄	—	8	1	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	2	1	no	—
355	C₈	—	2	1	no	—
356	C₈	—	2	1	no	—
357	C₈	—	2	1	no	—
358	C₈	—	2	1	no	—
359	C₈	—	4	1	no	—
360	C₈	—	4	1	no	—
361	C₈	—	4	1	no	—
362	C₈	—	4	1	no	—
363	C₈	—	4	1	no	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	8	2	no	—
367	C₈	#440	1	2	yes	—
368	C₈	#440	1	2	yes	—
369	C₈	#443	1	2	yes	complemented
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	8	2	no	—
375	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#3397	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3400	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2949	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2957	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#3278	1	1	yes	characteristic
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	—	16	2	no	—
395	C₂	#23179	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#23190	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#23196	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	#2366
prime radical	#3147	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23170	C₂	semidirect
4. #18071	C₂	semidirect
6. #9749	C₂	semidirect
7. #9722	C₂	semidirect
8. #9055	C₂	semidirect
9. #9054	C₂	semidirect
10. #8293	C₂	semidirect
11. C₈×#107	C₂	semidirect
30. #1708	C₄	semidirect
31. #1707	C₄	semidirect
32. #1707	C₄	semidirect
33. #1706	C₄	semidirect
34. #1706	C₄	semidirect
35. #1705	C₄	semidirect
369. C₈	#443	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23179	2
#23170	2
#19596	2
#18071	2
#9750	2
#9749	2
#9722	2
#9055	2
#9054	2
#8293	2
C₈×#107	2