Subgroups — #231557

Order 512.

692 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23214	C₂	1	2	yes	maximal
2	#23184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#23157	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9736	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9059	C₂	1	2	yes	maximal
9	#9059	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	1	no	—
17	#2365	C₂²	1	2	yes	—
18	#2365	C₂²	1	2	yes	—
19	#1988	C₂²	1	2	yes	—
20	#1988	C₂²	1	2	yes	—
21	#1981	C₂²	1	2	yes	—
22	#1981	C₂²	1	2	yes	—
23	#1969	—	2	1	no	—
24	#1942	—	2	1	no	—
25	#1933	—	2	2	no	—
26	#1927	—	2	2	no	—
27	#1918	—	2	2	no	—
28	#1878	—	2	2	no	—
29	#1865	—	2	2	no	—
30	C₄×#107	—	2	1	no	—
31	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#103	—	2	2	no	—
37	#1707	C₄	1	8	yes	complemented
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#498	—	4	2	no	—
55	#498	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	#494	—	2	2	no	—
57	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#487	—	2	4	no	—
59	#487	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₄×Q₁₆	—	4	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	1	no	—
62	C₂×#107	—	2	1	no	—
63	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#106	—	4	2	no	—
66	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×#103	—	2	2	no	—
74	C₂×#103	—	2	2	no	—
75	C₂×#103	—	2	2	no	—
76	C₂×#103	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#391	—	2	2	no	—
84	#391	—	2	2	no	—
85	#389	—	2	2	no	—
86	#389	—	2	2	no	—
87	#387	—	4	2	no	—
88	#387	—	4	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	—	2	2	no	—
98	#340	D₄	1	2	yes	—
99	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
100	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	1	no	—
103	#336	—	2	1	no	—
104	#335	—	2	2	no	—
105	#334	—	2	2	no	—
106	#332	—	4	2	no	—
107	#332	—	4	2	no	—
108	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
136	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	#107	—	2	4	no	—
156	#107	—	2	4	no	—
157	#107	—	2	2	no	—
158	#107	SD₁₆	1	4	yes	—
159	#106	—	2	2	no	—
160	#106	—	2	2	no	—
161	#106	—	4	8	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	#103	—	2	8	no	—
169	#103	—	2	8	no	—
170	#103	—	4	4	no	—
171	#103	—	4	4	no	—
172	#103	—	8	2	no	—
173	#103	—	8	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	4	2	no	—
176	C₄×C₈	—	4	2	no	—
177	C₄×C₈	—	8	2	no	—
178	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
183	#95	—	2	1	no	—
184	#95	—	2	2	no	—
185	#95	—	2	1	no	—
186	#95	—	4	2	no	—
187	#95	—	4	2	no	—
188	#95	—	4	2	no	—
189	#95	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
213	Q₁₆	—	4	8	no	—
214	Q₁₆	—	8	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	4	1	no	—
225	C₂×C₈	—	4	1	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	1	no	—
232	C₂×C₈	—	4	1	no	—
233	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
259	C₄⋊C₄	#135	1	2	yes	—
260	C₄⋊C₄	#135	1	2	yes	—
261	C₄²	—	4	1	no	—
262	C₄²	—	4	1	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	2	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	—	4	1	no	—
267	C₄²	—	8	4	no	—
268	C₄²	—	8	4	no	—
269	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	4	4	no	—
275	Q₈	—	4	4	no	—
276	Q₈	—	4	4	no	—
277	Q₈	—	4	4	no	—
278	Q₈	—	8	2	no	—
279	Q₈	—	8	2	no	—
280	Q₈	—	8	2	no	—
281	Q₈	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
322	C₈	—	2	4	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₈	—	2	2	no	—
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	8	1	no	—
327	C₈	—	8	1	no	—
328	C₈	—	8	2	no	—
329	C₈	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
330	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	8	1	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	8	1	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	—	8	4	no	—
347	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2949	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3392	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#3393	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#3394	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#19979	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#19983	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#19990	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20014	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#23182	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#23186	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#23200	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
37. #1707	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23214	2
#23184	2
#23157	2
C₂×#1707	2
#9736	2
#9733	2
#9731	2
#9059	2
C₈×#107	2
C₈×#106	2