Subgroups — #231559

Order 512.

816 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23216	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#23182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9061	C₂	1	2	yes	maximal
7	#9058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
15	#2366	C₂²	1	2	yes	—
16	#2365	C₂²	1	2	yes	—
17	#1988	C₂²	1	2	yes	—
18	#1982	C₂²	1	2	yes	—
19	#1982	C₂²	1	2	yes	—
20	#1981	C₂²	1	2	yes	—
21	#1968	—	2	2	no	—
22	#1934	—	2	2	no	—
23	#1925	—	2	2	no	—
24	#1880	—	2	2	no	—
25	#1877	—	2	2	no	—
26	#1862	—	2	2	no	—
27	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#102	—	2	2	no	—
32	#1706	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1279	C₂²	1	2	yes	—
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	#500	—	4	1	no	—
49	#500	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
50	#493	—	4	1	no	—
51	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#492	—	2	4	no	—
53	#492	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	#486	—	2	4	no	—
55	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	C₄×SD₁₆	—	4	8	no	—
57	C₂×#107	—	4	1	no	—
58	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#103	—	2	2	no	—
64	C₂×#103	—	2	2	no	—
65	C₂×#102	—	2	2	no	—
66	C₂×#102	—	2	2	no	—
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#391	—	2	2	no	—
77	#390	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	2	no	—
80	#387	—	4	2	no	—
81	#386	—	4	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	#340	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	2	no	—
87	#340	D₄	1	2	yes	—
88	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
89	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#335	—	2	2	no	—
93	#334	—	2	2	no	—
94	#332	—	4	2	no	—
95	#331	—	4	2	no	—
96	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
108	C₂×D₈	—	4	4	no	—
109	C₂×D₈	—	8	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	—	2	2	no	—
123	#127	—	2	2	no	—
124	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
126	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
127	C₄×D₄	—	4	4	no	—
128	C₄×D₄	—	4	4	no	—
129	C₄×D₄	—	8	2	no	—
130	C₄×D₄	—	8	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#107	—	2	4	no	—
146	#107	—	4	4	no	—
147	#106	—	2	2	no	—
148	#106	D₈	1	4	yes	complemented
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	#103	—	4	4	no	—
154	#103	—	8	2	no	—
155	#102	—	2	8	no	—
156	#102	—	2	8	no	—
157	#102	—	4	4	no	—
158	#102	—	4	4	no	—
159	#102	—	8	2	no	—
160	#102	—	8	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	4	4	no	—
163	C₄×C₈	—	8	2	no	—
164	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
168	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
169	#95	—	2	2	no	—
170	#95	—	2	2	no	—
171	#95	—	4	2	no	—
172	#95	—	4	2	no	—
173	C₂⁴	—	4	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	8	2	no	—
195	C₂×D₄	—	8	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	SD₁₆	—	4	16	no	—
208	SD₁₆	—	8	8	no	—
209	D₈	—	8	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
241	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
244	C₄²	—	4	2	no	—
245	C₄²	—	4	2	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	8	4	no	—
249	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	8	2	no	—
255	C₂³	—	8	2	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	4	4	no	—
262	Q₈	—	4	4	no	—
263	Q₈	—	8	2	no	—
264	Q₈	—	8	2	no	—
265	D₄	—	4	4	no	—
266	D₄	—	4	4	no	—
267	D₄	—	4	4	no	—
268	D₄	—	4	4	no	—
269	D₄	—	8	4	no	—
270	D₄	—	8	2	no	—
271	D₄	—	8	2	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	D₄	—	8	2	no	—
274	D₄	—	16	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	16	8	no	—
292	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
304	C₈	—	2	4	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	—	2	2	no	—
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	—	8	2	no	—
309	C₈	—	8	2	no	—
310	C₈	C₄×D₈	1	4	yes	—
311	C₂²	—	8	4	no	—
312	C₂²	—	8	4	no	—
313	C₂²	—	8	4	no	—
314	C₂²	—	16	2	no	—
315	C₂²	—	16	2	no	—
316	C₂²	—	16	2	no	—
317	C₂²	—	16	2	no	—
318	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#3282	1	2	yes	—
321	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#3291	1	2	yes	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	1	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	8	2	no	—
328	C₄	—	8	2	no	—
329	C₄	—	8	4	no	—
330	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
331	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#2952	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3391	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#3394	1	2	yes	—
336	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
337	C₂	—	16	4	no	—
338	C₂	#19970	1	2	yes	—
339	C₂	#20004	1	2	yes	—
340	C₂	#23183	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#23185	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#23198	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23216	C₂	semidirect
2. #23182	C₂	semidirect
4. #9738	C₂	semidirect
5. #9732	C₂	semidirect
7. #9058	C₂	semidirect
8. C₈×#107	C₂	semidirect
9. C₈×#106	C₂	semidirect
32. #1706	C₄	semidirect
49. #500	C₂×C₄	semidirect
53. #492	C₂×C₄	semidirect
55. #486	C₂×C₄	semidirect
96. C₈²	C₂×C₄	semidirect
148. #106	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23216	2
#23182	2
C₂×#1706	2
#9738	2
#9732	2
#9061	2
#9058	2
C₈×#107	2
C₈×#106	2