Subgroups — #23156

Order 256.

389 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 207 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2369	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1987	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1941	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1920	C₂	1	2	yes	maximal
8	#1919	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×#106	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
15	#498	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#391	—	2	1	no	—
24	#391	—	2	2	no	—
25	#389	—	2	1	no	—
26	#389	C₂²	1	2	yes	—
27	#389	C₂²	1	2	yes	—
28	#387	—	2	2	no	—
29	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
30	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#340	C₂²	1	2	yes	—
37	#340	C₂²	1	2	yes	—
38	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#106	—	2	2	no	—
71	#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#106	Q₈	1	4	yes	complemented
74	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#95	—	2	2	no	—
78	#95	—	2	1	no	—
79	#95	—	2	2	no	—
80	#95	—	2	2	no	—
81	#95	—	2	1	no	—
82	#95	—	2	2	no	—
83	#95	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
85	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
87	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
88	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
89	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
110	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
116	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
117	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
118	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
119	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
120	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
121	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
122	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
123	C₄⋊C₄	SD₁₆	1	4	yes	—
124	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₄²	—	2	2	no	—
129	C₄²	—	2	2	no	—
130	C₄²	—	4	4	no	—
131	C₄²	—	4	2	no	—
132	C₄²	—	4	2	no	—
133	C₄²	—	8	2	no	—
134	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₄²	#41	1	2	yes	—
136	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	Q₈	—	4	8	no	—
138	Q₈	—	8	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄	—	4	1	no	—
151	C₂×C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄	—	4	1	no	—
153	C₂×C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄	—	4	1	no	—
161	C₂×C₄	—	4	1	no	—
162	C₂×C₄	—	4	1	no	—
163	C₂×C₄	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
167	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
168	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
169	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₈	—	2	2	no	—
176	C₈	—	4	2	no	—
177	C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	complemented
178	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
180	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
182	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
183	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
184	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
185	C₄	—	2	4	no	—
186	C₄	—	2	2	no	—
187	C₄	—	4	2	no	—
188	C₄	—	4	2	no	—
189	C₄	—	4	2	no	—
190	C₄	—	4	4	no	—
191	C₄	—	4	4	no	—
192	C₄	—	8	1	no	—
193	C₄	—	8	1	no	—
194	C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
195	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
196	C₄	#519	1	1	yes	characteristic
197	C₄	#556	1	1	yes	characteristic
198	C₄	#557	1	1	yes	characteristic
199	C₂	#2365	1	1	yes	characteristic
200	C₂	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
201	C₂	#2949	1	1	yes	characteristic
202	C₂	#3335	1	1	yes	characteristic
203	C₂	#3340	1	1	yes	characteristic
204	C₂	Q₈×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
205	C₂	#3381	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. #498	C₄	semidirect
73. #106	Q₈	semidirect
177. C₈	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#498	2
#2369	2
#2365	2
#1988	2
#1987	2
#1941	2
#1920	2
#1919	2
C₄×#106	2
C₈×C₄⋊C₄	2