Subgroups — #231560

Order 512.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 263 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23184	C₂	1	2	yes	maximal
2	#23157	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9733	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9731	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9058	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
13	#2365	C₂²	1	4	yes	—
14	#1988	C₂²	1	4	yes	—
15	#1981	C₂²	1	4	yes	—
16	#1969	—	2	2	no	—
17	#1942	—	2	2	no	—
18	#1918	—	2	4	no	—
19	#1878	—	2	4	no	—
20	C₄×#107	—	2	2	no	—
21	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#1713	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1279	C₂²	1	2	yes	—
31	#1279	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
36	#500	—	2	4	no	—
37	#500	—	4	2	no	—
38	#500	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	#500	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	#494	—	2	4	no	—
41	#494	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₄×Q₁₆	—	4	8	no	—
43	C₂×#107	—	2	2	no	—
44	C₂×#107	—	2	2	no	—
45	C₂×#107	—	4	2	no	—
46	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#103	—	2	4	no	—
53	C₂×#103	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#391	—	2	4	no	—
60	#389	—	2	4	no	—
61	#387	—	4	4	no	—
62	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	#340	—	2	4	no	—
66	#340	—	2	4	no	—
67	#340	D₄	1	2	yes	—
68	#340	D₄	1	2	yes	—
69	#336	—	2	2	no	—
70	#336	—	2	2	no	—
71	#335	—	2	2	no	—
72	#335	—	2	2	no	—
73	#332	—	4	4	no	—
74	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
77	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
78	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
79	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
80	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
81	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
90	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
91	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
93	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
94	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
105	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	#107	—	2	8	no	—
107	#107	—	2	8	no	—
108	#107	—	2	2	no	—
109	#107	—	2	2	no	—
110	#107	—	4	8	no	—
111	#107	D₈	1	4	yes	—
112	#107	Q₁₆	1	4	yes	complemented
113	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
117	#103	—	4	8	no	—
118	#103	—	8	4	no	—
119	C₄×C₈	—	2	1	no	—
120	C₄×C₈	—	4	4	no	—
121	C₄×C₈	—	4	4	no	—
122	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
126	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
127	#95	—	2	2	no	—
128	#95	—	2	2	no	—
129	#95	—	4	4	no	—
130	#95	—	4	4	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
135	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
136	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
145	Q₁₆	—	4	16	no	—
146	Q₁₆	—	8	8	no	—
147	C₂×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂×C₈	—	4	2	no	—
156	C₂×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂×C₈	—	4	2	no	—
159	C₂×C₈	—	4	2	no	—
160	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
165	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
166	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
167	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
168	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
179	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
180	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
181	C₄²	—	4	2	no	—
182	C₄²	—	4	2	no	—
183	C₄²	—	4	2	no	—
184	C₄²	—	4	2	no	—
185	C₄²	—	8	8	no	—
186	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
190	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	4	8	no	—
192	Q₈	—	4	8	no	—
193	Q₈	—	8	4	no	—
194	Q₈	—	8	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	8	4	no	—
211	C₂×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
226	C₈	—	2	4	no	—
227	C₈	—	2	2	no	—
228	C₈	—	2	2	no	—
229	C₈	—	8	2	no	—
230	C₈	—	8	2	no	—
231	C₈	C₄×D₈	1	4	yes	—
232	C₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	complemented
233	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
240	C₄	—	2	1	no	—
241	C₄	—	2	1	no	—
242	C₄	—	4	4	no	—
243	C₄	—	4	4	no	—
244	C₄	—	8	2	no	—
245	C₄	—	8	2	no	—
246	C₄	—	8	8	no	—
247	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
248	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
249	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
250	C₄	#2950	1	1	yes	characteristic
251	C₄	#3391	1	1	yes	characteristic
252	C₄	#3393	1	1	yes	characteristic
253	C₄	#3395	1	1	yes	characteristic
254	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#19971	1	1	yes	characteristic
256	C₂	D₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#20010	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#20020	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#23184	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#23185	1	1	yes	characteristic
261	C₂	#23200	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
25. #1713	C₄	semidirect
112. #107	Q₁₆	semidirect
232. C₈	C₄×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23184	2
#23157	2
C₂×#1713	2
#9733	2
#9731	2
#9058	2
C₈×#107	2