Subgroups — #231570

Order 512.

662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#23156	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9739	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9729	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9065	C₂	1	2	yes	maximal
9	#9060	C₂	1	2	yes	maximal
10	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#441	—	2	1	no	—
17	#2369	C₂²	1	2	yes	—
18	#2365	C₂²	1	2	yes	—
19	#1988	C₂²	1	2	yes	—
20	#1987	C₂²	1	2	yes	—
21	#1987	C₂²	1	2	yes	—
22	#1981	C₂²	1	2	yes	—
23	#1971	—	2	1	no	—
24	#1943	—	2	1	no	—
25	#1941	—	2	2	no	—
26	#1920	—	2	2	no	—
27	#1919	—	2	2	no	—
28	#1918	—	2	2	no	—
29	#1878	—	2	2	no	—
30	#1776	—	2	1	no	—
31	C₄×#106	—	2	2	no	—
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	#1707	C₄	1	8	yes	complemented
38	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	#500	—	2	2	no	—
52	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#498	—	2	4	no	—
54	#498	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	#494	—	2	2	no	—
56	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#487	—	4	2	no	—
58	#487	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	#441	—	4	4	no	—
60	C₂×#107	—	2	1	no	—
61	C₂×#107	—	2	1	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#103	—	2	2	no	—
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	—	4	2	no	—
73	C₂×#97	—	2	1	no	—
74	C₂×#97	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#391	—	2	2	no	—
80	#391	—	4	2	no	—
81	#389	—	2	2	no	—
82	#389	—	2	2	no	—
83	#389	—	2	2	no	—
84	#387	—	4	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#340	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	D₄	1	2	yes	—
98	#340	D₄	1	2	yes	—
99	#336	—	2	1	no	—
100	#336	—	2	1	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#334	—	2	2	no	—
103	#334	—	2	2	no	—
104	#333	—	4	2	no	—
105	#332	—	4	2	no	—
106	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	#107	—	2	4	no	—
150	#107	—	2	4	no	—
151	#106	—	2	8	no	—
152	#106	—	2	8	no	—
153	#106	—	2	2	no	—
154	#106	—	2	4	no	—
155	#106	SD₁₆	1	4	yes	—
156	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
162	#103	—	4	8	no	—
163	#103	—	4	4	no	—
164	#103	—	8	2	no	—
165	#97	—	4	2	no	—
166	#97	—	4	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	4	4	no	—
169	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
174	#95	—	2	1	no	—
175	#95	—	2	2	no	—
176	#95	—	2	1	no	—
177	#95	—	4	2	no	—
178	#95	—	4	2	no	—
179	#95	—	4	2	no	—
180	#95	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
200	Q₁₆	—	4	8	no	—
201	Q₁₆	—	8	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	1	no	—
208	C₂×C₈	—	4	1	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	1	no	—
211	C₂×C₈	—	4	1	no	—
212	C₂×C₈	—	4	2	no	—
213	C₂×C₈	—	4	1	no	—
214	C₂×C₈	—	4	1	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
240	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
241	C₄²	—	4	1	no	—
242	C₄²	—	4	1	no	—
243	C₄²	—	4	2	no	—
244	C₄²	—	4	1	no	—
245	C₄²	—	4	1	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	8	4	no	—
248	C₄²	—	16	2	no	—
249	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	4	4	no	—
255	Q₈	—	4	4	no	—
256	Q₈	—	8	4	no	—
257	Q₈	—	8	2	no	—
258	Q₈	—	8	2	no	—
259	Q₈	—	16	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	—	8	2	no	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	4	2	no	—
294	C₈	—	8	1	no	—
295	C₈	—	8	1	no	—
296	C₈	—	8	2	no	—
297	C₈	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
298	C₈	#441	1	4	yes	complemented
299	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#3276	1	2	yes	—
301	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#3290	1	2	yes	—
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	1	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	8	4	no	—
308	C₄	—	8	4	no	—
309	C₄	—	8	2	no	—
310	C₄	—	8	2	no	—
311	C₄	—	8	2	no	—
312	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
313	C₄	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2949	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#2950	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#3392	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#3394	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#3398	1	2	yes	—
319	C₂	#19895	1	2	yes	—
320	C₂	#19950	1	2	yes	—
321	C₂	#23182	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#23187	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#23199	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
37. #1707	C₄	semidirect
298. C₈	#441	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23187	2
#23162	2
#23156	2
C₂×#1707	2
#9742	2
#9739	2
#9729	2
#9065	2
#9060	2
#8283	2
C₈×#106	2