Subgroups — #231582

Order 512.

714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 242 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23184	C₂	1	2	yes	maximal
2	#23161	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9740	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9733	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9058	C₂	1	4	yes	maximal
7	#8282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
13	#2365	C₂²	1	4	yes	—
14	#1988	C₂²	1	4	yes	—
15	#1981	C₂²	1	4	yes	—
16	#1969	—	2	2	no	—
17	#1943	—	2	2	no	—
18	#1921	—	2	4	no	—
19	#1878	—	2	4	no	—
20	#1776	—	2	2	no	—
21	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1770	C₂²	1	2	yes	—
24	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#1713	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1279	C₂²	1	2	yes	—
31	#1279	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
36	#500	—	2	4	no	—
37	#500	—	4	2	no	—
38	#500	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	#500	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	#494	—	2	4	no	—
41	#494	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₄×Q₁₆	—	4	8	no	—
43	C₂×#107	—	2	2	no	—
44	C₂×#107	—	2	2	no	—
45	C₂×#107	—	4	2	no	—
46	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#103	—	2	4	no	—
52	C₂×#103	—	2	4	no	—
53	C₂×#97	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#391	—	2	4	no	—
59	#389	—	2	4	no	—
60	#387	—	4	4	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	#340	—	2	4	no	—
65	#340	—	2	4	no	—
66	#340	D₄	1	2	yes	—
67	#340	D₄	1	2	yes	—
68	#336	—	2	2	no	—
69	#336	—	2	2	no	—
70	#335	—	2	2	no	—
71	#334	—	2	2	no	—
72	#332	—	4	4	no	—
73	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
76	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
77	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
78	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
79	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
80	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
89	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
90	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
91	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
92	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
93	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
103	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	#107	—	2	8	no	—
105	#107	—	2	8	no	—
106	#107	—	2	4	no	—
107	#107	—	4	8	no	—
108	#106	—	2	2	no	—
109	#106	Q₁₆	1	4	yes	complemented
110	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
114	#103	—	4	8	no	—
115	#103	—	8	4	no	—
116	#97	—	4	4	no	—
117	C₄×C₈	—	2	1	no	—
118	C₄×C₈	—	4	4	no	—
119	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
123	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
124	#95	—	2	2	no	—
125	#95	—	2	2	no	—
126	#95	—	4	4	no	—
127	#95	—	4	4	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
129	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
132	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
141	Q₁₆	—	4	16	no	—
142	Q₁₆	—	8	8	no	—
143	C₂×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂×C₈	—	4	2	no	—
154	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
159	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
160	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
161	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
171	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
172	C₄²	—	4	2	no	—
173	C₄²	—	4	2	no	—
174	C₄²	—	4	2	no	—
175	C₄²	—	4	2	no	—
176	C₄²	—	8	8	no	—
177	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
179	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
181	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
182	Q₈	—	4	8	no	—
183	Q₈	—	4	8	no	—
184	Q₈	—	8	4	no	—
185	Q₈	—	8	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	8	4	no	—
198	C₂×C₄	—	8	4	no	—
199	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
211	C₈	—	2	4	no	—
212	C₈	—	2	2	no	—
213	C₈	—	2	2	no	—
214	C₈	—	8	2	no	—
215	C₈	—	8	2	no	—
216	C₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	complemented
217	C₈	#442	1	4	yes	—
218	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
219	C₂²	#3274	1	2	yes	—
220	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	#3293	1	2	yes	—
223	C₄	—	2	1	no	—
224	C₄	—	2	1	no	—
225	C₄	—	4	4	no	—
226	C₄	—	8	8	no	—
227	C₄	—	8	2	no	—
228	C₄	—	8	4	no	—
229	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
230	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
231	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
232	C₄	#2950	1	1	yes	characteristic
233	C₄	#3393	1	1	yes	characteristic
234	C₄	#3395	1	1	yes	characteristic
235	C₄	#3399	1	2	yes	—
236	C₂	#19928	1	2	yes	—
237	C₂	#19955	1	2	yes	—
238	C₂	#23184	1	1	yes	characteristic
239	C₂	#23188	1	1	yes	characteristic
240	C₂	#23200	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
25. #1713	C₄	semidirect
109. #106	Q₁₆	semidirect
216. C₈	C₄×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23184	2
#23161	2
C₂×#1713	2
#9740	2
#9733	2
#9058	2
#8282	2
C₈×#106	2