Subgroups — #231585

Order 512.

648 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 310 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23217	C₂	1	2	yes	maximal
2	#23163	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9741	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9737	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9066	C₂	1	2	yes	maximal
7	#9058	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
14	#2369	C₂²	1	2	yes	—
15	#2365	C₂²	1	2	yes	—
16	#1988	C₂²	1	2	yes	—
17	#1987	C₂²	1	2	yes	—
18	#1987	C₂²	1	2	yes	—
19	#1981	C₂²	1	2	yes	—
20	#1944	—	2	2	no	—
21	#1933	—	2	2	no	—
22	#1928	—	2	2	no	—
23	#1920	—	2	2	no	—
24	#1919	—	2	2	no	—
25	#1863	—	2	2	no	—
26	#1776	—	2	2	no	—
27	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1770	C₂²	1	2	yes	—
30	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#103	—	2	2	no	—
32	#1707	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1279	C₂²	1	2	yes	—
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	—	4	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
44	#500	—	4	1	no	—
45	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#498	—	2	4	no	—
47	#498	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	#494	—	4	1	no	—
49	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#487	—	2	4	no	—
51	#487	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×#107	—	4	1	no	—
53	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#106	—	2	2	no	—
58	C₂×#106	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#103	—	2	2	no	—
62	C₂×#103	—	2	2	no	—
63	C₂×#103	—	2	2	no	—
64	C₂×#103	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#391	—	2	2	no	—
71	#391	—	4	2	no	—
72	#389	—	2	2	no	—
73	#389	—	2	2	no	—
74	#389	—	2	2	no	—
75	#387	—	4	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	#340	—	2	2	no	—
82	#340	—	2	2	no	—
83	#340	—	2	2	no	—
84	#340	—	2	2	no	—
85	#340	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	2	no	—
87	#340	D₄	1	2	yes	—
88	#340	D₄	1	2	yes	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#335	—	2	2	no	—
92	#335	—	2	2	no	—
93	#333	—	4	2	no	—
94	#332	—	4	2	no	—
95	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
99	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
100	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
117	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	#107	—	2	2	no	—
134	#107	—	4	4	no	—
135	#107	—	4	1	no	—
136	#107	—	4	1	no	—
137	#107	Q₁₆	1	4	yes	complemented
138	#106	—	2	8	no	—
139	#106	—	2	8	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
144	#103	—	2	8	no	—
145	#103	—	2	8	no	—
146	#103	—	4	4	no	—
147	#103	—	8	2	no	—
148	#97	—	4	4	no	—
149	C₄×C₈	—	2	1	no	—
150	C₄×C₈	—	8	2	no	—
151	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
155	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
156	#95	—	2	2	no	—
157	#95	—	2	2	no	—
158	#95	—	4	2	no	—
159	#95	—	4	2	no	—
160	#95	—	4	2	no	—
161	#95	—	4	2	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
167	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
181	Q₁₆	—	8	8	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂×C₈	—	2	1	no	—
187	C₂×C₈	—	2	1	no	—
188	C₂×C₈	—	2	1	no	—
189	C₂×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂×C₈	—	2	1	no	—
191	C₂×C₈	—	4	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	2	no	—
193	C₂×C₈	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	2	no	—
195	C₂×C₈	—	4	2	no	—
196	C₂×C₈	—	4	2	no	—
197	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
202	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
203	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
220	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	—	4	2	no	—
224	C₄²	—	4	2	no	—
225	C₄²	—	8	4	no	—
226	C₄²	—	16	2	no	—
227	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
232	Q₈	—	4	4	no	—
233	Q₈	—	4	4	no	—
234	Q₈	—	8	4	no	—
235	Q₈	—	8	2	no	—
236	Q₈	—	8	2	no	—
237	Q₈	—	16	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	8	2	no	—
255	C₂×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂×C₄	—	8	2	no	—
257	C₂×C₄	—	8	2	no	—
258	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
272	C₈	—	2	4	no	—
273	C₈	—	2	2	no	—
274	C₈	—	2	2	no	—
275	C₈	—	2	2	no	—
276	C₈	—	8	2	no	—
277	C₈	—	8	2	no	—
278	C₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
279	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#3273	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#3277	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
286	C₄	—	2	1	no	—
287	C₄	—	2	1	no	—
288	C₄	—	4	4	no	—
289	C₄	—	8	4	no	—
290	C₄	—	8	4	no	—
291	C₄	—	8	2	no	—
292	C₄	—	8	2	no	—
293	C₄	—	8	2	no	—
294	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#2943	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#2950	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#3393	1	1	yes	characteristic
299	C₄	#3395	1	1	yes	characteristic
300	C₄	#3402	1	1	yes	characteristic
301	C₄	#3403	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#19927	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#19931	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#19954	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#19958	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#23184	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#23191	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#23198	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
32. #1707	C₄	semidirect
137. #107	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23217	2
#23163	2
C₂×#1707	2
#9741	2
#9737	2
#9066	2
#9058	2
#8282	2
C₈×#107	2