Subgroups — #23181

Order 256.

457 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 254 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2935	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1771	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
17	#532	C₂²	1	2	yes	—
18	#497	C₄	1	2	yes	complemented
19	#497	C₄	1	2	yes	complemented
20	#496	C₄	1	2	yes	complemented
21	#496	C₄	1	2	yes	complemented
22	#444	—	2	4	no	—
23	#443	—	2	4	no	—
24	#436	—	2	2	no	—
25	#435	—	2	2	no	—
26	#435	—	2	2	no	—
27	C₈×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
35	#408	C₂²	1	2	yes	—
36	#408	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#341	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
47	#135	—	2	2	no	—
48	#135	—	2	2	no	—
49	#135	—	2	2	no	—
50	#135	—	2	2	no	—
51	#135	—	4	2	no	—
52	#135	—	4	2	no	—
53	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#131	—	2	4	no	—
64	#131	—	2	4	no	—
65	#131	—	4	2	no	—
66	#131	—	4	2	no	—
67	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#121	—	2	2	no	—
82	#121	—	2	2	no	—
83	C₄×D₄	—	2	2	no	—
84	C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#108	—	2	2	no	—
90	#108	D₄	1	4	yes	complemented
91	C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
93	#104	—	2	4	no	—
94	#104	—	2	4	no	—
95	#104	—	4	2	no	—
96	#104	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
101	#97	—	2	2	no	—
102	#97	—	2	2	no	—
103	#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₄×C₈	—	2	2	no	—
106	C₄×C₈	—	2	2	no	—
107	#95	—	2	1	no	—
108	#41	—	2	2	no	—
109	#41	—	2	2	no	—
110	#41	—	2	2	no	—
111	#41	—	2	2	no	—
112	#41	—	2	2	no	—
113	#41	—	2	2	no	—
114	#41	—	2	2	no	—
115	#41	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	Q₁₆	—	2	2	no	—
132	Q₁₆	—	2	2	no	—
133	Q₁₆	—	4	2	no	—
134	SD₁₆	—	2	4	no	—
135	SD₁₆	—	2	4	no	—
136	SD₁₆	—	4	2	no	—
137	SD₁₆	—	4	2	no	—
138	D₈	—	2	2	no	—
139	D₈	—	2	2	no	—
140	D₈	—	4	2	no	—
141	M₁₆	—	2	2	no	—
142	M₁₆	—	2	2	no	—
143	M₁₆	—	2	2	no	—
144	M₁₆	—	4	4	no	—
145	M₁₆	—	4	4	no	—
146	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	4	4	no	—
156	C₂×C₈	—	4	4	no	—
157	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄²	—	2	1	no	—
173	C₄²	—	2	1	no	—
174	C₄²	—	2	1	no	—
175	C₄²	—	2	1	no	—
176	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
181	Q₈	—	2	2	no	—
182	Q₈	—	2	2	no	—
183	Q₈	—	2	2	no	—
184	Q₈	—	2	2	no	—
185	D₄	—	2	2	no	—
186	D₄	—	2	2	no	—
187	D₄	—	2	2	no	—
188	D₄	—	2	2	no	—
189	D₄	—	4	4	no	—
190	D₄	—	4	2	no	—
191	D₄	—	4	2	no	—
192	D₄	—	4	2	no	—
193	D₄	—	4	2	no	—
194	D₄	—	8	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
217	C₈	—	2	2	no	—
218	C₈	—	2	1	no	—
219	C₈	—	2	2	no	—
220	C₈	—	2	1	no	—
221	C₈	—	2	4	no	—
222	C₈	—	4	2	no	—
223	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²	—	2	1	no	—
226	C₂²	—	2	1	no	—
227	C₂²	—	4	2	no	—
228	C₂²	—	4	2	no	—
229	C₂²	—	4	2	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	—	4	2	no	—
233	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	#550	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	#559	1	1	yes	characteristic
236	C₄	—	2	2	no	—
237	C₄	—	2	2	no	—
238	C₄	—	4	2	no	—
239	C₄	—	4	2	no	—
240	C₄	—	4	2	no	—
241	C₄	—	8	1	no	—
242	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
244	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
245	C₄	#550	1	1	yes	characteristic
246	C₂	—	2	1	no	—
247	C₂	—	2	1	no	—
248	C₂	—	8	2	no	—
249	C₂	—	8	2	no	—
250	C₂	#2366	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic
252	C₂	#2956	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3150	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#444	C₂	semidirect
3. C₂×#443	C₂	semidirect
4. #2935	C₂	semidirect
5. #1980	C₂	semidirect
6. #1975	C₂	semidirect
7. #1974	C₂	semidirect
8. #1876	C₂	semidirect
9. #1876	C₂	semidirect
10. #1778	C₂	semidirect
11. #1771	C₂	semidirect
18. #497	C₄	semidirect
19. #497	C₄	semidirect
20. #496	C₄	semidirect
21. #496	C₄	semidirect
90. #108	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3150	2
C₂×#444	2
C₂×#443	2
#2935	2
#1980	2
#1975	2
#1974	2
#1876	2
#1778	2
#1771	2