Group #232123 — subgroups

Subgroups — #232123

Order 512.

644 conjugacy classes of subgroups; only the 196 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 644 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 196 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#9089	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#8959	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#8800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic
6	#2972	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂×#442	C₂²	1	4	yes	—
8	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
9	#1972	C₄	1	4	yes	—
10	#1957	C₄	1	2	yes	—
11	#1844	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#1478	C₂²	1	8	yes	—
14	#1460	C₂²	1	4	yes	—
15	#1281	C₂²	1	4	yes	—
16	#1276	C₂²	1	4	yes	—
17	#1275	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
19	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
22	#493	C₈	1	8	yes	complemented
23	#442	—	4	4	no	—
24	#442	—	4	4	no	—
25	C₈×D₄	—	4	8	no	—
26	#431	C₂³	1	8	yes	—
27	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
30	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	#390	—	4	2	no	—
35	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	D₄⋊C₈	—	4	8	no	—
39	#323	—	4	4	no	—
40	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
41	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
43	C₂×D₈	—	4	4	no	—
44	C₂×D₈	—	4	4	no	—
45	C₂×D₈	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
46	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
47	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
49	#127	—	4	2	no	—
50	#127	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
51	C₄×D₄	—	2	8	no	—
52	C₄×D₄	—	2	8	no	—
53	C₄×D₄	—	8	8	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
62	#106	—	4	4	no	—
63	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
64	#102	—	4	8	no	—
65	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
66	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
67	#97	—	2	4	no	—
68	#97	—	4	2	no	—
69	C₄×C₈	—	2	8	no	—
70	C₄×C₈	—	4	1	no	—
71	C₄×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
72	C₂⁴	—	2	4	no	—
73	C₂×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂×D₄	—	4	8	no	—
77	C₂×D₄	—	8	4	no	—
78	C₂×D₄	—	8	4	no	—
79	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
84	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
86	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
88	D₈	—	4	16	no	—
89	C₂×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈	—	4	8	no	—
95	C₂×C₈	—	16	8	no	—
96	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
97	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
99	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
100	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
101	C₄²	—	2	1	no	—
102	C₄²	—	2	2	no	—
103	C₄²	—	4	4	no	—
104	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
105	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
106	C₂³	—	2	8	no	—
107	C₂³	—	4	4	no	—
108	C₂³	—	4	4	no	—
109	C₂³	—	8	4	no	—
110	C₂³	—	8	4	no	—
111	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
112	D₄	—	2	16	no	—
113	D₄	—	4	8	no	—
114	D₄	—	8	16	no	—
115	C₂×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄	—	4	1	no	—
121	C₂×C₄	—	8	8	no	—
122	C₂×C₄	—	8	4	no	—
123	C₂×C₄	—	16	4	no	—
124	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
125	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
126	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
128	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
129	C₈	—	2	4	no	—
130	C₈	—	4	2	no	—
131	C₈	—	8	8	no	—
132	C₂²	—	2	2	no	—
133	C₂²	—	4	8	no	—
134	C₂²	—	8	8	no	—
135	C₂²	—	8	4	no	—
136	C₂²	—	8	4	no	—
137	C₂²	—	16	4	no	—
138	C₂²	#2380	1	1	yes	characteristic
139	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
140	C₂²	#2980	1	1	yes	characteristic
141	C₄	—	2	4	no	—
142	C₄	—	2	4	no	—
143	C₄	—	8	1	no	—
144	C₄	—	8	4	no	—
145	C₄	#2972	1	2	yes	—
146	C₄	#2980	1	2	yes	—
147	C₂	—	2	1	no	—
148	C₂	—	2	1	no	—
149	C₂	—	8	8	no	—
150	C₂	#23355	1	1	yes	characteristic
151	C₂	#23361	1	2	yes	—

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

#21690

C₂

yes

maximal, characteristic

#9089

C₂

yes

maximal, complemented

#8959

C₂

yes

maximal, complemented

#8800

C₂

yes

maximal, complemented

C₂×#493

C₄

yes

characteristic

#2972

C₂²

yes

—

C₂×#442

C₂²

yes

—

C₄×#127

C₂²

yes

—

#1972

C₄

yes

—

#1957

C₄

yes

—

#1844

C₄

yes

characteristic

C₄×#97

C₂²

yes

characteristic

#1478

C₂²

yes

—

#1460

C₂²

yes

—

#1281

C₂²

yes

—

#1276

C₂²

yes

—

#1275

C₂²

yes

—

C₂²×D₈

C₂×C₄

yes

—

C₂×#127

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄×D₄

—

C₂×C₄×D₄

C₂³

yes

—

#493

C₈

yes

complemented

#442

—

#442

—

C₈×D₄

—

#431

C₂³

yes

—

C₂×#106

C₂×C₄

yes

—

C₂×#102

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₈

—

C₂×#97

C₂×C₄

yes

—

C₂×#97

C₂³

yes

—

C₂×C₄×C₈

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂×C₄×C₈

C₂×C₄

yes

characteristic

#390

—

#390

C₂×C₄

yes

—

#384

C₂×C₄

yes

—

C₄³

C₂³

yes

characteristic

D₄⋊C₈

—

#323

—

C₂²×D₄

—

C₂²×D₄

C₂²×C₄

yes

—

C₂³×C₄

—

C₂×D₈

—

C₂×D₈

—

C₂×D₈

C₂×C₈

yes

complemented

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

C₂²×C₄

yes

—

C₂²×C₈

C₂²×C₄

yes

—

#127

—

#127

C₂×C₈

yes

complemented

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂²×C₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₄²

—

C₂×C₄²

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂×C₄²

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂×C₄²

C₂⁴

yes

characteristic

#106

—

C₄⋊C₈

—

#102

—

C₂²⋊C₈

—

C₂²⋊C₈

—

#97

—

#97

—

C₄×C₈

—

C₄×C₈

—

C₄×C₈

C₂×C₈

yes

complemented

C₂⁴

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

C₂²×C₈

yes

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

C₂³×C₄

yes

characteristic

C₂²×C₄

H(5,𝔽₂)

yes

—

D₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

C₂²×C₈

yes

—

C₄⋊C₄

—

C₄⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

100

C₂²⋊C₄

—

101

C₄²

—

102

C₄²

—

103

C₄²

—

104

C₄²

C₂²×C₈

yes

—

105

C₄²

H(5,𝔽₂)

yes

—

106

C₂³

—

107

C₂³

—

108

C₂³

—

109

C₂³

—

110

C₂³

—

111

C₂³

#518

yes

characteristic

112

D₄

—

113

D₄

—

114

D₄

—

115

C₂×C₄

—

116

C₂×C₄

—

117

C₂×C₄

—

118

C₂×C₄

—

119

C₂×C₄

—

120

C₂×C₄

—

121

C₂×C₄

—

122

C₂×C₄

—

123

C₂×C₄

—

124

C₂×C₄

#518

yes

—

125

C₂×C₄

#560

yes

—

126

C₂×C₄

C₂³×C₈

yes

characteristic

127

C₂×C₄

#568

yes

—

128

C₂×C₄

#568

yes

characteristic

129

C₈

—

130

C₈

—

131

C₈

—

132

C₂²

—

133

C₂²

—

134

C₂²

—

135

C₂²

—

136

C₂²

—

137

C₂²

—

138

C₂²

#2380

yes

characteristic

139

C₂²

#2972

yes

characteristic

140

C₂²

#2980

yes

characteristic

141

C₄

—

142

C₄

—

143

C₄

—

144

C₄

—

145

C₄

#2972

yes

—

146

C₄

#2980

yes

—

147

C₂

—

148

C₂

—

149

C₂

—

150

C₂

#23355

yes

characteristic

151

C₂

#23361

yes

—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2380
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂²

#2380

commutator

C₂×C₄

C₂³×C₈

Frattini, cosocle

C₂×C₄²

C₂⁴

C₄

G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G

LECS

G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
2. #9089	C₂	semidirect
3. #8959	C₂	semidirect
4. #8800	C₂	semidirect
22. #493	C₈	semidirect
45. C₂×D₈	C₂×C₈	semidirect
50. #127	C₂×C₈	semidirect
71. C₄×C₈	C₂×C₈	semidirect

H ≅ G/N

type

2. #9089

C₂

semidirect

3. #8959

C₂

semidirect

4. #8800

C₂

semidirect

22. #493

C₈

semidirect

45. C₂×D₈

C₂×C₈

semidirect

50. #127

C₂×C₈

semidirect

71. C₄×C₈

C₂×C₈

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21690	2
#9089	2
#8959	2
#8800	2

subgroup

index

Subgroups — #232123

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups