Subgroups — #23237

Order 256.

422 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 212 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1984	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1850	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#391	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#389	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#387	C₄	1	2	yes	—
24	#385	C₄	1	2	yes	—
25	#380	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	2	yes	—
30	#336	C₂²	1	2	yes	—
31	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#336	C₂²	1	2	yes	—
33	#336	C₂²	1	2	yes	—
34	#336	C₂²	1	2	yes	—
35	#336	C₂²	1	2	yes	—
36	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
44	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²⋊Q₈	C₈	1	8	yes	complemented
49	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
67	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
69	C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₄×C₈	—	4	2	no	—
71	C₄×C₈	—	4	2	no	—
72	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
79	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
80	C₂×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
81	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
86	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
87	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
88	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈	—	4	8	no	—
112	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
113	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
114	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
116	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
117	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
118	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
119	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
120	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
122	C₄²	—	2	2	no	—
123	C₄²	—	2	2	no	—
124	C₄²	—	2	2	no	—
125	C₄²	—	2	2	no	—
126	C₄²	—	2	2	no	—
127	C₄²	—	2	2	no	—
128	C₄²	—	4	1	no	—
129	C₄²	—	4	1	no	—
130	C₂³	—	2	1	no	—
131	C₂³	—	2	1	no	—
132	C₂³	—	2	1	no	—
133	C₂³	—	2	1	no	—
134	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
136	C₂³	#131	1	2	yes	—
137	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
138	Q₈	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
166	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
167	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
168	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
169	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
170	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
174	C₈	—	2	4	no	—
175	C₈	—	2	4	no	—
176	C₈	—	4	2	no	—
177	C₈	—	4	2	no	—
178	C₂²	—	2	2	no	—
179	C₂²	—	2	2	no	—
180	C₂²	—	2	2	no	—
181	C₂²	—	2	2	no	—
182	C₂²	—	2	2	no	—
183	C₂²	—	2	2	no	—
184	C₂²	C₈×Q₈	1	4	yes	—
185	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
187	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
188	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
190	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
191	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
192	C₄	—	2	2	no	—
193	C₄	—	2	4	no	—
194	C₄	—	2	2	no	—
195	C₄	—	2	2	no	—
196	C₄	—	2	4	no	—
197	C₄	—	2	2	no	—
198	C₄	—	4	2	no	—
199	C₄	—	4	2	no	—
200	C₄	—	4	1	no	—
201	C₄	#551	1	2	yes	—
202	C₄	#554	1	2	yes	—
203	C₂	—	2	4	no	—
204	C₂	#2368	1	1	yes	characteristic
205	C₂	C₂×C₈×Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂	#2962	1	1	yes	characteristic
207	C₂	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂	#2968	1	1	yes	characteristic
209	C₂	#2972	1	1	yes	characteristic
210	C₂	#2977	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #1984	C₂	semidirect
3. #1916	C₂	semidirect
4. #1916	C₂	semidirect
6. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
48. C₂²⋊Q₈	C₈	semidirect
68. C₂²⋊C₈	Q₈	semidirect
80. C₂×Q₈	C₂×C₈	semidirect
118. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
119. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×C₂²⋊Q₈	2
#1984	2
#1916	2
#1850	2
C₈×C₄⋊C₄	2
C₈×C₂²⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊C₈	2
C₂×#336	2