Subgroups — #232772

Order 512.

1783 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 442 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21190	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#17485	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10032	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#7860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#575	—	2	2	no	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3153	—	2	4	no	—
11	#3152	—	2	2	no	—
12	#3151	—	2	2	no	—
13	#3150	C₂²	1	4	yes	complemented
14	#3147	—	2	2	no	—
15	#3100	—	2	4	no	—
16	#3100	—	2	4	no	—
17	#3100	—	2	4	no	—
18	#3100	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×#480	—	2	2	no	—
20	C₂×#474	—	2	2	no	—
21	C₂×#459	—	2	2	no	—
22	C₂×#447	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×D₈	—	2	4	no	—
24	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#407	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1955	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1954	—	2	2	no	—
30	#1492	—	2	4	no	—
31	#1486	—	2	4	no	—
32	#1480	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1275	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
37	#575	—	4	8	no	—
38	#575	—	4	8	no	—
39	C₂×#137	—	2	8	no	—
40	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
41	C₂×#135	—	2	8	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	D₄	1	4	yes	—
52	#532	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×#124	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#497	—	2	8	no	—
72	#496	—	2	8	no	—
73	#495	—	2	8	no	—
74	#494	—	2	2	no	—
75	#493	—	2	2	no	—
76	#492	—	2	4	no	—
77	#480	—	2	8	no	—
78	#480	—	2	8	no	—
79	#474	—	2	8	no	—
80	#474	—	2	8	no	—
81	#459	—	2	8	no	—
82	#459	—	2	8	no	—
83	#447	—	2	8	no	—
84	#447	—	2	8	no	—
85	C₄×D₈	—	2	16	no	—
86	C₄×D₈	—	2	16	no	—
87	#431	—	2	2	no	—
88	#431	—	2	2	no	—
89	#431	D₄	1	4	yes	—
90	#431	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#107	—	2	4	no	—
92	#423	—	2	2	no	—
93	#423	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#102	—	2	4	no	—
98	C₂×#102	—	2	4	no	—
99	#407	—	4	8	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
102	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
107	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
108	C₂⁵	—	2	1	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	4	2	no	—
112	C₂×#41	—	4	2	no	—
113	C₂×#41	—	4	8	no	—
114	C₂×#41	—	4	8	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
136	#137	—	4	32	no	—
137	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
138	#135	—	4	16	no	—
139	#135	—	4	16	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
142	C₂×D₈	—	2	16	no	—
143	C₂×D₈	—	2	8	no	—
144	C₂×D₈	—	4	16	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×M₁₆	D₈	1	8	yes	complemented
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	#124	—	2	4	no	—
162	#124	—	2	4	no	—
163	#124	—	4	2	no	—
164	#124	—	4	2	no	—
165	#121	—	2	4	no	—
166	#121	—	2	4	no	—
167	#121	—	2	4	no	—
168	#121	—	2	4	no	—
169	#121	—	4	2	no	—
170	#121	—	4	2	no	—
171	#121	—	4	2	no	—
172	#121	—	4	2	no	—
173	C₄×D₄	—	2	4	no	—
174	C₄×D₄	—	2	4	no	—
175	C₄×D₄	—	2	4	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	4	no	—
178	C₄×D₄	—	2	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	4	1	no	—
182	C₄×D₄	—	4	1	no	—
183	C₄×D₄	—	4	2	no	—
184	C₄×D₄	—	4	2	no	—
185	C₄×D₄	—	4	2	no	—
186	C₄×D₄	—	4	2	no	—
187	C₄×D₄	—	4	1	no	—
188	C₄×D₄	—	4	1	no	—
189	C₄×D₄	—	4	2	no	—
190	C₄×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	2	16	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
216	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
217	#102	—	2	16	no	—
218	#102	—	2	16	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
222	#97	—	2	4	no	—
223	C₄×C₈	—	2	2	no	—
224	C₄×C₈	—	2	2	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
227	C₂⁴	—	2	2	no	—
228	C₂⁴	—	4	4	no	—
229	C₂⁴	—	4	2	no	—
230	C₂⁴	—	4	2	no	—
231	C₂⁴	—	4	4	no	—
232	C₂⁴	—	8	2	no	—
233	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
234	#41	—	4	8	no	—
235	#41	—	4	8	no	—
236	#41	—	4	16	no	—
237	#41	—	8	8	no	—
238	#41	—	8	4	no	—
239	#41	—	8	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	1	no	—
257	C₂×D₄	—	4	1	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	8	4	no	—
263	C₂×D₄	—	8	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
297	Q₁₆	—	4	16	no	—
298	SD₁₆	—	4	32	no	—
299	D₈	—	4	16	no	—
300	D₈	—	4	32	no	—
301	M₁₆	—	2	16	no	—
302	M₁₆	—	8	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	8	no	—
306	C₂×C₈	—	4	8	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	4	4	no	—
309	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	complemented
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄²	#120	1	2	yes	—
325	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	#120	1	2	yes	—
328	C₄²	#121	1	2	yes	—
329	C₄²	#121	1	2	yes	—
330	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂³	—	2	4	no	—
335	C₂³	—	4	1	no	—
336	C₂³	—	4	1	no	—
337	C₂³	—	4	8	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	4	no	—
340	C₂³	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	4	4	no	—
343	C₂³	—	8	4	no	—
344	C₂³	—	8	4	no	—
345	C₂³	—	8	4	no	—
346	C₂³	—	8	16	no	—
347	C₂³	—	8	4	no	—
348	C₂³	—	8	4	no	—
349	C₂³	#392	1	2	yes	—
350	C₂³	#459	1	4	yes	—
351	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
352	Q₈	—	4	8	no	—
353	Q₈	—	8	4	no	—
354	D₄	—	2	8	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	8	no	—
358	D₄	—	4	8	no	—
359	D₄	—	4	8	no	—
360	D₄	—	4	4	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	8	8	no	—
363	D₄	—	8	8	no	—
364	D₄	—	8	4	no	—
365	D₄	—	8	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	—	8	2	no	—
382	C₂×C₄	—	8	4	no	—
383	C₂×C₄	—	8	4	no	—
384	C₂×C₄	—	8	8	no	—
385	C₂×C₄	—	8	8	no	—
386	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
392	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
393	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
395	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
401	C₈	—	2	8	no	—
402	C₈	—	4	8	no	—
403	C₈	—	8	2	no	—
404	C₂²	—	2	1	no	—
405	C₂²	—	2	2	no	—
406	C₂²	—	2	1	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	8	no	—
410	C₂²	—	4	4	no	—
411	C₂²	—	8	4	no	—
412	C₂²	—	8	16	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	4	no	—
417	C₂²	—	8	4	no	—
418	C₂²	—	16	8	no	—
419	C₂²	#2011	1	4	yes	—
420	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	C₂×#459	1	2	yes	—
422	C₄	—	2	2	no	—
423	C₄	—	2	1	no	—
424	C₄	—	2	2	no	—
425	C₄	—	2	1	no	—
426	C₄	—	2	1	no	—
427	C₄	—	8	2	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	#2010	1	2	yes	—
430	C₄	#2011	1	4	yes	—
431	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
432	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
433	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
434	C₂	—	2	2	no	—
435	C₂	—	2	4	no	—
436	C₂	—	8	4	no	—
437	C₂	—	16	4	no	—
438	C₂	C₂×#2010	1	1	yes	characteristic
439	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#23434	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#392
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60639	C₂	semidirect
2. C₂×#3100	C₂	semidirect
3. #21190	C₂	semidirect
4. #17485	C₂	semidirect
5. #10032	C₂	semidirect
6. #7860	C₂	semidirect
13. #3150	C₂²	semidirect
18. #3100	C₂²	semidirect
28. #1955	C₂²	semidirect
32. #1480	C₂²	semidirect
33. #1275	C₂²	semidirect
149. C₂×M₁₆	D₈	semidirect
309. C₂×C₈	C₂×D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60639	2
C₂×#3100	2
#21190	2
#17485	2
#10032	2
#7860	2