Subgroups — #232777

Order 512.

1271 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3104	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17486	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10037	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#7860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#3166	—	2	4	no	—
10	#3165	—	2	2	no	—
11	#3165	—	2	2	no	—
12	#3162	C₂²	1	4	yes	—
13	#3160	—	2	2	no	—
14	#3104	—	2	4	no	—
15	#3104	—	2	4	no	—
16	#3104	—	2	4	no	—
17	#3104	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#484	—	2	2	no	—
19	C₂×#477	—	2	2	no	—
20	C₂×#462	—	2	2	no	—
21	C₂×#451	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
23	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
24	#2911	—	2	2	no	—
25	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1985	C₂²	1	4	yes	—
28	#1984	—	2	2	no	—
29	#1728	—	2	2	no	—
30	#1493	—	2	4	no	—
31	#1487	—	2	4	no	—
32	#1481	C₂²	1	8	yes	—
33	#1275	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
37	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
38	#533	—	2	2	no	—
39	#533	—	2	2	no	—
40	#533	—	2	2	no	—
41	#533	—	2	2	no	—
42	#533	—	2	2	no	—
43	#533	—	2	2	no	—
44	#533	D₄	1	4	yes	—
45	#533	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#117	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#501	—	2	8	no	—
67	#501	—	2	8	no	—
68	#500	—	2	2	no	—
69	#500	—	2	2	no	—
70	#499	—	2	8	no	—
71	#498	—	2	4	no	—
72	#484	—	2	8	no	—
73	#484	—	2	8	no	—
74	#477	—	2	8	no	—
75	#477	—	2	8	no	—
76	#462	—	2	8	no	—
77	#462	—	2	8	no	—
78	#451	—	2	8	no	—
79	#451	—	2	8	no	—
80	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
81	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
82	#431	—	2	2	no	—
83	#431	—	2	2	no	—
84	#431	D₄	1	4	yes	—
85	#431	C₂³	1	4	yes	—
86	#428	—	2	8	no	—
87	#428	—	2	8	no	—
88	#427	—	2	8	no	—
89	C₂×#107	—	2	4	no	—
90	#423	—	2	2	no	—
91	#423	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#103	—	2	4	no	—
96	C₂×#103	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
103	#336	—	2	8	no	—
104	Q₈⋊C₈	—	2	16	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
111	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	8	yes	complemented
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	#125	—	2	4	no	—
136	#125	—	2	4	no	—
137	#125	—	4	2	no	—
138	#125	—	4	2	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	4	2	no	—
168	#117	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	#107	—	2	16	no	—
198	#107	—	2	8	no	—
199	#107	—	2	8	no	—
200	#106	—	2	16	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
206	#103	—	2	16	no	—
207	#103	—	2	16	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
210	#97	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	4	no	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
215	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	Q₁₆	—	4	32	no	—
256	M₁₆	—	2	16	no	—
257	M₁₆	—	8	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₂×C₈	—	4	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	complemented
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	—	4	4	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₄²	—	4	4	no	—
290	C₄²	#120	1	2	yes	—
291	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	#120	1	2	yes	—
294	C₄²	#121	1	2	yes	—
295	C₄²	#121	1	2	yes	—
296	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂³	—	4	1	no	—
301	C₂³	—	4	1	no	—
302	C₂³	#392	1	2	yes	—
303	C₂³	#462	1	4	yes	—
304	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	2	8	no	—
306	Q₈	—	4	4	no	—
307	Q₈	—	4	4	no	—
308	Q₈	—	4	8	no	—
309	Q₈	—	4	8	no	—
310	Q₈	—	4	4	no	—
311	Q₈	—	8	4	no	—
312	Q₈	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#451	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	#462	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#494	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
347	C₈	—	2	8	no	—
348	C₈	—	4	8	no	—
349	C₈	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	#2016	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#462	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	—	8	2	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	#2010	1	2	yes	—
368	C₄	#2016	1	4	yes	—
369	C₄	C₂×#451	1	2	yes	—
370	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
372	C₂	—	2	2	no	—
373	C₂	—	2	4	no	—
374	C₂	C₂×#2010	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#2016	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#23434	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#392
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10037	C₂	semidirect
123. C₂×M₁₆	Q₁₆	semidirect
264. C₂×C₈	C₂×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60663	2
C₂×#3104	2
#21303	2
#17486	2
#10037	2
#7860	2