Subgroups — #232789

Order 512.

1640 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 442 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#17485	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10032	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#135	—	2	2	no	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3245	—	2	4	no	—
11	#3226	—	2	2	no	—
12	#3226	—	2	2	no	—
13	#3205	—	2	2	no	—
14	#3205	—	2	2	no	—
15	#3186	—	2	4	no	—
16	#3169	—	2	4	no	—
17	#3150	—	2	2	no	—
18	#3150	—	2	4	no	—
19	#3150	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#497	—	2	2	no	—
21	C₂×#496	—	2	2	no	—
22	#3100	—	2	4	no	—
23	#3100	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#408	—	2	2	no	—
27	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1955	—	2	2	no	—
29	#1955	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1492	—	2	4	no	—
31	#1486	—	2	4	no	—
32	#1480	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1275	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂²×#41	—	2	1	no	—
35	C₂²×#41	—	2	2	no	—
36	C₂×#135	—	2	8	no	—
37	C₂×#135	—	2	8	no	—
38	C₂×#135	—	4	8	no	—
39	C₂×#135	—	4	8	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	D₄	1	4	yes	—
56	#532	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#124	—	2	1	no	—
63	C₂×#121	—	2	1	no	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#500	—	2	4	no	—
73	#497	—	2	8	no	—
74	#497	—	2	8	no	—
75	#496	—	2	8	no	—
76	#496	—	2	8	no	—
77	#493	—	2	4	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#486	—	2	4	no	—
80	#480	—	2	8	no	—
81	#480	—	2	8	no	—
82	#474	—	2	8	no	—
83	#474	—	2	8	no	—
84	#466	—	2	16	no	—
85	#459	—	2	8	no	—
86	#459	—	2	8	no	—
87	#447	—	2	8	no	—
88	#447	—	2	8	no	—
89	C₄×D₈	—	2	16	no	—
90	#431	—	2	2	no	—
91	#431	—	2	2	no	—
92	#431	D₄	1	4	yes	—
93	#431	C₂³	1	4	yes	—
94	#423	—	2	2	no	—
95	#423	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	#408	—	4	8	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
102	C₂×#97	—	2	2	no	—
103	C₂×#97	—	2	2	no	—
104	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
105	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
107	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	1	no	—
111	C₂×#41	—	4	1	no	—
112	C₂×#41	—	4	2	no	—
113	C₂×#41	—	4	1	no	—
114	C₂×#41	—	4	1	no	—
115	C₂×#41	—	4	2	no	—
116	C₂×#41	—	4	4	no	—
117	C₂×#41	—	4	4	no	—
118	C₂×#41	—	4	8	no	—
119	C₂×#41	—	4	8	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
135	#135	—	4	16	no	—
136	#135	—	4	32	no	—
137	#135	—	4	16	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂×D₈	—	2	8	no	—
143	C₂×D₈	—	2	16	no	—
144	C₂×D₈	—	4	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	D₈	1	8	yes	complemented
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	#124	—	2	4	no	—
168	#124	—	2	4	no	—
169	#124	—	4	2	no	—
170	#124	—	4	2	no	—
171	#124	—	4	2	no	—
172	#124	—	4	2	no	—
173	#121	—	2	4	no	—
174	#121	—	2	4	no	—
175	#121	—	2	4	no	—
176	#121	—	2	4	no	—
177	#121	—	2	4	no	—
178	#121	—	2	4	no	—
179	#121	—	4	2	no	—
180	#121	—	4	2	no	—
181	#121	—	4	2	no	—
182	#121	—	4	2	no	—
183	#121	—	4	2	no	—
184	#121	—	4	2	no	—
185	C₄×D₄	—	2	4	no	—
186	C₄×D₄	—	2	4	no	—
187	C₄×D₄	—	2	4	no	—
188	C₄×D₄	—	2	4	no	—
189	C₄×D₄	—	2	4	no	—
190	C₄×D₄	—	2	4	no	—
191	C₄×D₄	—	4	2	no	—
192	C₄×D₄	—	4	2	no	—
193	C₄×D₄	—	4	2	no	—
194	C₄×D₄	—	4	2	no	—
195	C₄×D₄	—	4	2	no	—
196	C₄×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	#107	—	2	16	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
218	#102	—	2	16	no	—
219	#102	—	2	16	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
223	#97	—	2	4	no	—
224	#97	—	2	4	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
227	C₂⁴	—	2	2	no	—
228	C₂⁴	—	4	2	no	—
229	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
230	#41	—	4	8	no	—
231	#41	—	4	8	no	—
232	#41	—	4	16	no	—
233	#41	—	8	4	no	—
234	#41	—	8	4	no	—
235	#41	—	8	8	no	—
236	#41	—	8	2	no	—
237	#41	—	8	2	no	—
238	#41	—	8	4	no	—
239	#41	—	8	2	no	—
240	#41	—	8	2	no	—
241	#41	—	8	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	1	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	1	no	—
263	C₂×D₄	—	4	8	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	2	no	—
266	C₂×D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×D₄	—	8	4	no	—
268	C₂×D₄	—	8	2	no	—
269	C₂×D₄	—	8	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
298	Q₁₆	—	4	16	no	—
299	SD₁₆	—	4	32	no	—
300	D₈	—	4	16	no	—
301	D₈	—	8	16	no	—
302	M₁₆	—	8	2	no	—
303	M₁₆	—	8	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	8	no	—
307	C₂×C₈	—	2	8	no	—
308	C₂×C₈	—	2	8	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	—	4	4	no	—
311	C₂×C₈	—	8	4	no	—
312	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
325	C₄²	#120	1	2	yes	—
326	C₄²	#120	1	2	yes	—
327	C₄²	#120	1	2	yes	—
328	C₄²	#121	1	2	yes	—
329	C₄²	#121	1	2	yes	—
330	C₄²	#127	1	2	yes	—
331	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂³	—	4	1	no	—
334	C₂³	—	4	1	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	4	4	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	4	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#459	1	4	yes	—
346	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
347	Q₈	—	4	8	no	—
348	Q₈	—	8	2	no	—
349	Q₈	—	8	2	no	—
350	Q₈	—	8	4	no	—
351	D₄	—	4	8	no	—
352	D₄	—	4	8	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	4	8	no	—
355	D₄	—	8	4	no	—
356	D₄	—	8	4	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	8	no	—
359	D₄	—	8	4	no	—
360	D₄	—	8	4	no	—
361	D₄	—	8	8	no	—
362	D₄	—	8	2	no	—
363	D₄	—	8	4	no	—
364	D₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	1	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	—	8	4	no	—
382	C₂×C₄	—	8	8	no	—
383	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
388	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
390	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
400	C₈	—	2	8	no	—
401	C₈	—	4	8	no	—
402	C₈	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	2	1	no	—
404	C₂²	—	2	1	no	—
405	C₂²	—	2	1	no	—
406	C₂²	—	2	1	no	—
407	C₂²	—	2	1	no	—
408	C₂²	—	2	1	no	—
409	C₂²	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	8	8	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	—	8	4	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	2	no	—
417	C₂²	—	16	8	no	—
418	C₂²	#2011	1	2	yes	—
419	C₂²	#2011	1	2	yes	—
420	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	C₂×#459	1	2	yes	—
422	C₄	—	2	2	no	—
423	C₄	—	2	2	no	—
424	C₄	—	2	2	no	—
425	C₄	—	2	2	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	—	8	4	no	—
428	C₄	#2011	1	2	yes	—
429	C₄	#2011	1	2	yes	—
430	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
431	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
432	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
433	C₂	—	2	2	no	—
434	C₂	—	2	2	no	—
435	C₂	—	2	2	no	—
436	C₂	—	16	2	no	—
437	C₂	—	16	4	no	—
438	C₂	#23414	1	1	yes	characteristic
439	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#23434	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#392
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60940	C₂	semidirect
2. C₂×#3150	C₂	semidirect
3. #21188	C₂	semidirect
4. #17485	C₂	semidirect
5. #10032	C₂	semidirect
6. C₂×#1275	C₂	semidirect
23. #3100	C₂²	semidirect
29. #1955	C₂²	semidirect
32. #1480	C₂²	semidirect
33. #1275	C₂²	semidirect
153. C₂²×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60940	2
C₂×#3150	2
#21188	2
#17485	2
#10032	2
C₂×#1275	2