Subgroups — #232791

Order 512.

1522 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60941	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#17485	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10034	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#135	—	2	2	no	—
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3246	—	2	4	no	—
11	#3229	—	2	2	no	—
12	#3227	—	2	2	no	—
13	#3208	—	2	2	no	—
14	#3206	—	2	2	no	—
15	#3187	—	2	4	no	—
16	#3167	—	2	4	no	—
17	#3150	—	2	2	no	—
18	#3150	—	2	4	no	—
19	#3150	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#497	—	2	2	no	—
21	C₂×#496	—	2	2	no	—
22	#3103	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#3101	—	2	4	no	—
24	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1985	—	2	2	no	—
28	#1985	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1729	—	2	2	no	—
30	#1492	—	2	4	no	—
31	#1486	—	2	4	no	—
32	#1480	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1275	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	C₂×#135	—	2	8	no	—
36	C₂×#135	—	2	8	no	—
37	C₂×#135	—	4	8	no	—
38	C₂×#135	—	4	8	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	D₄	1	4	yes	—
55	#532	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×#125	—	2	1	no	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×#117	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#498	—	2	4	no	—
73	#497	—	2	8	no	—
74	#497	—	2	8	no	—
75	#496	—	2	8	no	—
76	#496	—	2	8	no	—
77	#492	—	2	4	no	—
78	#487	—	2	4	no	—
79	#486	—	2	4	no	—
80	#483	—	2	8	no	—
81	#481	—	2	8	no	—
82	#476	—	2	8	no	—
83	#475	—	2	8	no	—
84	#465	—	2	16	no	—
85	#461	—	2	8	no	—
86	#460	—	2	8	no	—
87	#450	—	2	8	no	—
88	#448	—	2	8	no	—
89	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
90	#431	—	2	2	no	—
91	#431	—	2	2	no	—
92	#431	D₄	1	4	yes	—
93	#431	C₂³	1	4	yes	—
94	#423	—	2	2	no	—
95	#423	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×#97	—	2	2	no	—
101	C₂×#97	—	2	2	no	—
102	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
105	#336	—	2	8	no	—
106	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	4	2	no	—
110	C₂×#41	—	4	2	no	—
111	C₂×#41	—	4	8	no	—
112	C₂×#41	—	4	8	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
124	#135	—	4	16	no	—
125	#135	—	4	32	no	—
126	#135	—	4	16	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
132	C₂×D₈	—	2	8	no	—
133	C₂×D₈	—	4	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#125	—	4	2	no	—
157	#125	—	4	2	no	—
158	#124	—	2	4	no	—
159	#124	—	2	4	no	—
160	#124	—	4	2	no	—
161	#124	—	4	2	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
166	#121	—	2	4	no	—
167	#121	—	2	4	no	—
168	#121	—	2	4	no	—
169	#121	—	2	4	no	—
170	#121	—	4	2	no	—
171	#121	—	4	2	no	—
172	#121	—	4	2	no	—
173	#121	—	4	2	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₄×D₄	—	2	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	2	no	—
183	C₄×D₄	—	4	2	no	—
184	C₄×D₄	—	4	2	no	—
185	C₄×D₄	—	4	2	no	—
186	#117	—	4	1	no	—
187	#117	—	4	1	no	—
188	#117	—	4	1	no	—
189	#117	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	#106	—	2	16	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
215	#103	—	2	16	no	—
216	#102	—	2	16	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
219	#97	—	2	4	no	—
220	#97	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
223	C₂⁴	—	4	2	no	—
224	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
225	#41	—	4	8	no	—
226	#41	—	4	8	no	—
227	#41	—	4	16	no	—
228	#41	—	8	8	no	—
229	#41	—	8	4	no	—
230	#41	—	8	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	—	8	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	Q₁₆	—	4	16	no	—
276	SD₁₆	—	4	32	no	—
277	SD₁₆	—	8	16	no	—
278	D₈	—	4	16	no	—
279	M₁₆	—	8	2	no	—
280	M₁₆	—	8	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	8	no	—
285	C₂×C₈	—	2	8	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₂×C₈	—	8	4	no	—
289	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	#120	1	2	yes	—
311	C₄²	#120	1	2	yes	—
312	C₄²	#120	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₄²	#121	1	2	yes	—
315	C₄²	#127	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	—	4	1	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	8	4	no	—
322	C₂³	—	8	4	no	—
323	C₂³	—	8	4	no	—
324	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	#392	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	#460	1	4	yes	—
327	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	4	8	no	—
329	Q₈	—	4	8	no	—
330	Q₈	—	8	4	no	—
331	Q₈	—	8	4	no	—
332	D₄	—	4	8	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	4	8	no	—
335	D₄	—	8	4	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	8	no	—
338	D₄	—	8	8	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#450	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#450	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	8	no	—
375	C₈	—	4	8	no	—
376	C₈	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	16	8	no	—
388	C₂²	#2014	1	2	yes	—
389	C₂²	#2014	1	2	yes	—
390	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#460	1	2	yes	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	#2014	1	2	yes	—
400	C₄	#2014	1	2	yes	—
401	C₄	C₂×#450	1	2	yes	—
402	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
403	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	16	4	no	—
408	C₂	#23414	1	1	yes	characteristic
409	C₂	C₂×#2014	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#23434	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#392
prime radical	C₂×#3150	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60941	C₂	semidirect
3. #21301	C₂	semidirect
4. #17485	C₂	semidirect
5. #10034	C₂	semidirect
6. C₂×#1275	C₂	semidirect
22. #3103	C₂²	semidirect
28. #1985	C₂²	semidirect
32. #1480	C₂²	semidirect
33. #1275	C₂²	semidirect
142. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60941	2
C₂×#3150	2
#21301	2
#17485	2
#10034	2
C₂×#1275	2