Subgroups — #232803

Order 512.

1651 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1480	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10032	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#7860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#575	—	2	2	no	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3245	—	2	4	no	—
11	#3226	—	2	2	no	—
12	#3226	—	2	2	no	—
13	#3205	—	2	2	no	—
14	#3205	—	2	2	no	—
15	#3186	—	2	4	no	—
16	#3169	—	2	4	no	—
17	#3153	—	2	4	no	—
18	#3152	—	2	2	no	—
19	#3151	—	2	2	no	—
20	#3150	C₂²	1	4	yes	—
21	#3147	—	2	2	no	—
22	#3100	—	2	4	no	—
23	#3100	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#408	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1955	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1954	—	2	2	no	—
30	#1480	—	2	4	no	—
31	#1480	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
33	#1275	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂²×#41	—	2	1	no	—
35	C₂²×#41	—	2	2	no	—
36	#575	—	4	8	no	—
37	#575	—	4	8	no	—
38	C₂×#137	—	2	8	no	—
39	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
40	C₂×#135	—	2	8	no	—
41	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	D₄	1	4	yes	—
54	#532	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#124	—	2	2	no	—
60	C₂×#124	—	2	1	no	—
61	C₂×#121	—	2	1	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#500	—	2	4	no	—
71	#497	—	2	8	no	—
72	#496	—	2	8	no	—
73	#495	—	2	8	no	—
74	#494	—	2	2	no	—
75	#493	—	2	2	no	—
76	#493	—	2	4	no	—
77	#492	—	2	4	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#486	—	2	4	no	—
80	#480	—	2	8	no	—
81	#480	—	2	8	no	—
82	#474	—	2	8	no	—
83	#474	—	2	8	no	—
84	#466	—	2	16	no	—
85	#459	—	2	8	no	—
86	#459	—	2	8	no	—
87	#447	—	2	8	no	—
88	#447	—	2	8	no	—
89	C₄×D₈	—	2	16	no	—
90	#431	—	2	2	no	—
91	#431	—	2	2	no	—
92	#431	D₄	1	4	yes	—
93	#431	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	#408	—	4	8	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
102	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
107	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	2	no	—
111	C₂×#41	—	4	2	no	—
112	C₂×#41	—	4	2	no	—
113	C₂×#41	—	4	2	no	—
114	C₂×#41	—	4	4	no	—
115	C₂×#41	—	4	4	no	—
116	C₂×#41	—	4	8	no	—
117	C₂×#41	—	4	8	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
133	#137	—	4	32	no	—
134	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
135	#135	—	4	16	no	—
136	#135	—	4	16	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
139	C₂×D₈	—	2	8	no	—
140	C₂×D₈	—	2	16	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	D₈	1	8	yes	complemented
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	#124	—	2	4	no	—
162	#124	—	2	4	no	—
163	#124	—	4	2	no	—
164	#124	—	4	2	no	—
165	#124	—	4	2	no	—
166	#124	—	4	2	no	—
167	#121	—	2	4	no	—
168	#121	—	2	4	no	—
169	#121	—	2	4	no	—
170	#121	—	2	4	no	—
171	#121	—	2	4	no	—
172	#121	—	2	4	no	—
173	#121	—	4	2	no	—
174	#121	—	4	2	no	—
175	#121	—	4	2	no	—
176	#121	—	4	2	no	—
177	#121	—	4	2	no	—
178	#121	—	4	2	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	2	4	no	—
183	C₄×D₄	—	2	4	no	—
184	C₄×D₄	—	2	4	no	—
185	C₄×D₄	—	4	1	no	—
186	C₄×D₄	—	4	2	no	—
187	C₄×D₄	—	4	1	no	—
188	C₄×D₄	—	4	2	no	—
189	C₄×D₄	—	4	1	no	—
190	C₄×D₄	—	4	1	no	—
191	C₄×D₄	—	4	2	no	—
192	C₄×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	#107	—	2	16	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
214	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
215	#102	—	2	16	no	—
216	#102	—	2	16	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
220	#97	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	2	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	4	no	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
225	C₂⁴	—	2	2	no	—
226	C₂⁴	—	4	2	no	—
227	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
228	#41	—	4	8	no	—
229	#41	—	4	8	no	—
230	#41	—	4	16	no	—
231	#41	—	8	8	no	—
232	#41	—	8	8	no	—
233	#41	—	8	4	no	—
234	#41	—	8	4	no	—
235	#41	—	8	4	no	—
236	#41	—	8	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	1	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	1	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	2	no	—
261	C₂×D₄	—	8	4	no	—
262	C₂×D₄	—	8	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
289	Q₁₆	—	4	16	no	—
290	SD₁₆	—	4	32	no	—
291	D₈	—	4	16	no	—
292	D₈	—	8	16	no	—
293	M₁₆	—	2	16	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	8	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	4	no	—
299	C₂×C₈	—	8	4	no	—
300	C₂×C₈	—	8	4	no	—
301	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	#120	1	2	yes	—
318	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	#120	1	2	yes	—
320	C₄²	#121	1	2	yes	—
321	C₄²	#121	1	2	yes	—
322	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
326	C₂³	—	4	1	no	—
327	C₂³	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	8	4	no	—
334	C₂³	—	8	4	no	—
335	C₂³	—	8	4	no	—
336	C₂³	#392	1	2	yes	—
337	C₂³	#459	1	4	yes	—
338	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	4	8	no	—
340	Q₈	—	8	4	no	—
341	Q₈	—	8	4	no	—
342	D₄	—	4	8	no	—
343	D₄	—	4	8	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	4	8	no	—
346	D₄	—	8	2	no	—
347	D₄	—	8	4	no	—
348	D₄	—	8	8	no	—
349	D₄	—	8	8	no	—
350	D₄	—	8	8	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	8	no	—
373	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
379	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
388	C₈	—	2	8	no	—
389	C₈	—	4	8	no	—
390	C₈	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	1	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	8	8	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	16	8	no	—
404	C₂²	#2011	1	4	yes	—
405	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂×#459	1	2	yes	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	1	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	#2011	1	4	yes	—
415	C₄	#2017	1	2	yes	—
416	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
417	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
418	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
419	C₂	—	2	2	no	—
420	C₂	—	2	4	no	—
421	C₂	—	16	2	no	—
422	C₂	—	16	4	no	—
423	C₂	#23414	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
425	C₂	C₂×#2017	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#392
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60940	C₂	semidirect
2. #60639	C₂	semidirect
3. #21189	C₂	semidirect
4. C₂×#1480	C₂	semidirect
5. #10032	C₂	semidirect
6. #7860	C₂	semidirect
23. #3100	C₂²	semidirect
28. #1955	C₂²	semidirect
31. #1480	C₂²	semidirect
33. #1275	C₂²	semidirect
143. C₂×M₁₆	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60940	2
#60639	2
#21189	2
C₂×#1480	2
#10032	2
#7860	2