Subgroups — #232928

Order 512.

1577 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 439 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60940	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3037	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#17485	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10255	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#8001	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#137	—	2	2	no	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3245	C₂²	1	4	yes	—
11	#3226	—	2	2	no	—
12	#3205	—	2	2	no	—
13	#3186	—	2	2	no	—
14	#3169	—	2	2	no	—
15	#3100	—	2	4	no	—
16	#3037	—	2	4	no	—
17	#3037	—	2	4	no	—
18	#3037	—	2	4	no	—
19	#3037	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂×#464	—	2	4	no	—
21	C₂×#462	—	2	2	no	—
22	C₂×#460	—	2	2	no	—
23	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#417	—	2	2	no	—
27	#1984	—	2	2	no	—
28	#1984	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1817	—	2	2	no	—
30	#1492	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#1486	—	2	4	no	—
32	#1480	—	2	4	no	—
33	#1292	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#137	—	2	8	no	—
37	C₂×#137	—	2	8	no	—
38	C₂×#137	—	4	8	no	—
39	C₂×#137	—	4	8	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	D₄	1	4	yes	—
50	#532	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×#124	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#500	—	2	2	no	—
71	#493	—	2	2	no	—
72	#486	—	2	4	no	—
73	#480	—	2	8	no	—
74	#474	—	2	8	no	—
75	#466	—	2	8	no	—
76	#464	—	2	16	no	—
77	#464	—	2	16	no	—
78	#462	—	2	8	no	—
79	#462	—	2	8	no	—
80	#460	—	2	8	no	—
81	#460	—	2	8	no	—
82	#459	—	2	8	no	—
83	#447	—	2	8	no	—
84	C₄×D₈	—	2	8	no	—
85	#431	—	2	2	no	—
86	#431	—	2	2	no	—
87	#431	—	2	2	no	—
88	#431	—	2	2	no	—
89	#423	—	2	2	no	—
90	#423	—	2	2	no	—
91	#423	D₄	1	4	yes	—
92	#423	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#417	—	2	8	no	—
98	#417	—	2	8	no	—
99	C₂×#103	—	2	4	no	—
100	C₂×#102	—	2	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	#336	—	2	8	no	—
106	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	4	2	no	—
110	C₂×#41	—	4	2	no	—
111	C₂×#41	—	4	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	4	no	—
113	C₂×#41	—	4	4	no	—
114	C₂×#41	—	4	4	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	D₈	1	4	yes	complemented
122	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
133	#137	—	4	16	no	—
134	#137	—	4	32	no	—
135	#137	—	4	16	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
140	C₂×D₈	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#124	—	2	4	no	—
157	#124	—	2	4	no	—
158	#124	—	4	2	no	—
159	#124	—	4	2	no	—
160	#121	—	2	4	no	—
161	#121	—	2	4	no	—
162	#121	—	2	4	no	—
163	#121	—	2	4	no	—
164	#121	—	4	2	no	—
165	#121	—	4	2	no	—
166	#121	—	4	2	no	—
167	#121	—	4	2	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
173	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
174	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
177	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
178	C₄×D₄	—	2	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	2	no	—
183	C₄×D₄	—	4	2	no	—
184	C₄×D₄	—	4	2	no	—
185	C₄×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	#107	—	2	8	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
216	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
217	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
218	#103	—	2	16	no	—
219	#102	—	2	16	no	—
220	#102	—	2	16	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	2	no	—
224	C₄×C₈	—	2	2	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂⁴	—	4	2	no	—
227	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
228	#41	—	4	4	no	—
229	#41	—	4	4	no	—
230	#41	—	4	4	no	—
231	#41	—	4	4	no	—
232	#41	—	4	8	no	—
233	#41	—	4	8	no	—
234	#41	—	8	4	no	—
235	#41	—	8	4	no	—
236	#41	—	8	4	no	—
237	#41	—	8	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	4	no	—
266	C₂×D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×D₄	—	8	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
297	Q₁₆	—	4	32	no	—
298	SD₁₆	—	4	32	no	—
299	D₈	—	8	8	no	—
300	M₁₆	—	4	4	no	—
301	M₁₆	—	4	4	no	—
302	M₁₆	—	4	8	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	8	no	—
305	C₂×C₈	—	4	8	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₂×C₈	—	4	4	no	—
308	C₂×C₈	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄²	—	4	2	no	—
324	C₄²	—	4	2	no	—
325	C₄²	—	4	4	no	—
326	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	#120	1	2	yes	—
329	C₄²	#120	1	2	yes	—
330	C₄²	#121	1	2	yes	—
331	C₄²	#121	1	2	yes	—
332	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
333	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
334	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂³	—	4	1	no	—
337	C₂³	—	4	1	no	—
338	C₂³	—	4	4	no	—
339	C₂³	—	8	4	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	#392	1	2	yes	—
343	C₂³	#466	1	2	yes	—
344	C₂³	#469	1	2	yes	—
345	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	2	8	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	Q₈	—	4	4	no	—
349	Q₈	—	4	4	no	—
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	4	4	no	—
352	Q₈	—	8	4	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	8	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	4	no	—
359	D₄	—	8	8	no	—
360	D₄	—	8	4	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	—	8	4	no	—
382	C₂×C₄	—	8	8	no	—
383	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#392	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
390	C₂×C₄	#449	1	4	yes	—
391	C₂×C₄	#449	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#469	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
401	C₈	—	4	8	no	—
402	C₈	—	4	4	no	—
403	C₈	—	8	2	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	2	1	no	—
406	C₂²	—	2	1	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	4	2	no	—
409	C₂²	—	4	2	no	—
410	C₂²	—	8	4	no	—
411	C₂²	—	8	4	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	—	16	8	no	—
414	C₂²	#1999	1	4	yes	—
415	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
418	C₄	—	2	1	no	—
419	C₄	—	2	2	no	—
420	C₄	—	2	2	no	—
421	C₄	—	2	1	no	—
422	C₄	—	2	1	no	—
423	C₄	—	4	4	no	—
424	C₄	—	8	4	no	—
425	C₄	—	8	2	no	—
426	C₄	#1999	1	2	yes	—
427	C₄	#1999	1	2	yes	—
428	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
429	C₄	C₂×#449	1	2	yes	—
430	C₄	#3022	1	2	yes	—
431	C₂	—	2	4	no	—
432	C₂	—	2	1	no	—
433	C₂	—	2	1	no	—
434	C₂	—	16	4	no	—
435	C₂	C₂×#1999	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#23408	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#23434	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#392
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#60940	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3037	C₂	semidirect
3. #21818	C₂	semidirect
4. #17485	C₂	semidirect
5. #10255	C₂	semidirect
6. #8001	C₂	semidirect
19. #3037	C₂²	semidirect
28. #1984	C₂²	semidirect
30. #1492	C₂²	semidirect
33. #1292	C₂²	semidirect
121. C₂²×Q₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60940	2
C₂×#3037	2
#21818	2
#17485	2
#10255	2
#8001	2