Subgroups — #233057

Order 512.

1608 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3039	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21373	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10265	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10264	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#137	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#500	—	2	2	no	—
12	C₂×#500	—	2	8	no	—
13	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
14	#3039	—	2	8	no	—
15	#3039	—	2	8	no	—
16	C₂×#462	—	2	2	no	—
17	C₂×#462	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#461	—	2	2	no	—
19	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#107	—	2	2	no	—
22	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#419	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1984	C₂²	1	2	yes	—
26	#1954	C₂²	1	2	yes	—
27	#1869	—	2	2	no	—
28	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
29	#1546	—	2	8	no	—
30	C₂×#332	C₂²	1	8	yes	—
31	#1277	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
34	C₂×#137	—	2	16	no	—
35	C₂×#137	—	4	8	no	—
36	C₂×#137	—	4	8	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₄×#41	—	2	4	no	—
50	C₄×#41	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	—	2	1	no	—
58	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#500	—	2	16	no	—
64	#500	—	2	16	no	—
65	#462	—	2	16	no	—
66	#462	—	2	8	no	—
67	#462	—	2	8	no	—
68	#461	—	2	16	no	—
69	#461	—	2	8	no	—
70	#461	—	2	8	no	—
71	#431	—	2	4	no	—
72	C₂×#107	—	2	16	no	—
73	C₂×#107	—	2	8	no	—
74	#423	—	2	4	no	—
75	#423	D₄	1	8	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	#419	—	2	16	no	—
80	C₂×#103	—	2	4	no	—
81	C₂×#103	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#332	—	2	16	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	D₈	1	4	yes	—
94	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
112	#137	—	4	64	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
136	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	4	2	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	2	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	#107	—	2	32	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	#103	—	2	16	no	—
180	#103	—	2	16	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
183	C₄×C₈	—	2	4	no	—
184	C₄×C₈	—	2	4	no	—
185	C₄×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	1	no	—
187	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	2	16	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
206	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	1	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
231	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	Q₁₆	—	4	32	no	—
245	SD₁₆	—	4	32	no	—
246	M₁₆	—	4	16	no	—
247	C₂×C₈	—	2	16	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	#137	1	8	yes	complemented
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	1	no	—
270	C₄²	—	4	1	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	#120	1	2	yes	—
274	C₄²	#120	1	4	yes	—
275	C₄²	#121	1	4	yes	—
276	C₄²	#127	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	4	1	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	1	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	#392	1	2	yes	—
287	C₂³	#466	1	2	yes	—
288	C₂³	#469	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	4	2	no	—
292	Q₈	—	4	8	no	—
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	Q₈	—	8	16	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	16	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#449	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#469	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#473	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
336	C₈	—	2	8	no	—
337	C₈	—	4	8	no	—
338	C₈	—	8	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	1	no	—
347	C₂²	—	8	1	no	—
348	C₂²	#1999	1	4	yes	—
349	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3039	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#473	1	2	yes	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	8	8	no	—
358	C₄	—	8	1	no	—
359	C₄	—	8	1	no	—
360	C₄	#1999	1	4	yes	—
361	C₄	#2020	1	4	yes	—
362	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
363	C₄	C₂×#449	1	2	yes	—
364	C₄	#3004	1	2	yes	—
365	C₄	#3152	1	2	yes	—
366	C₂	—	2	4	no	—
367	C₂	—	8	2	no	—
368	C₂	#19271	1	2	yes	—
369	C₂	#19296	1	2	yes	—
370	C₂	C₂×#1999	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#23432	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#2020	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#500	C₂	semidirect
4. C₂×#1546	C₂	semidirect
5. #10265	C₂	semidirect
6. #10264	C₂	semidirect
7. #7874	C₂	semidirect
255. C₂×C₈	#137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#3039	2
#21373	2
C₂×#1546	2
#10265	2
#10264	2
#7874	2