Subgroups — #233058

Order 512.

1810 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3036	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10264	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10261	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3169	—	2	8	no	—
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#466	—	2	2	no	—
17	#3036	—	2	8	no	—
18	#3036	—	2	8	no	—
19	C₂×#463	—	2	4	no	—
20	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
23	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#417	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1954	—	2	2	no	—
29	#1954	C₂²	1	2	yes	—
30	#1954	C₂²	1	2	yes	—
31	#1547	—	2	8	no	—
32	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1277	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1277	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×#41	—	2	2	no	—
37	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
39	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
40	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
41	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	#532	—	2	4	no	—
49	#532	—	2	4	no	—
50	#532	—	2	4	no	—
51	#532	D₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#124	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#500	—	2	4	no	—
69	#493	—	2	4	no	—
70	#486	—	2	4	no	—
71	#486	—	2	4	no	—
72	#466	—	2	16	no	—
73	#463	—	2	32	no	—
74	#461	—	2	8	no	—
75	#461	—	2	8	no	—
76	#459	—	2	8	no	—
77	#459	—	2	8	no	—
78	C₄×D₈	—	2	16	no	—
79	C₂×#107	—	2	2	no	—
80	#423	—	2	4	no	—
81	#423	D₄	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
87	#417	—	2	16	no	—
88	C₂×#103	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#332	—	2	8	no	—
99	#331	—	2	8	no	—
100	C₂⁵	—	2	1	no	—
101	C₂×#41	—	2	8	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₄	D₈	1	4	yes	complemented
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
129	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×D₈	—	2	16	no	—
134	C₂×D₈	—	2	8	no	—
135	C₂×D₈	—	4	4	no	—
136	C₂×D₈	—	4	8	no	—
137	C₂×D₈	—	4	8	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	#124	—	2	8	no	—
160	#124	—	4	4	no	—
161	#121	—	2	8	no	—
162	#121	—	2	8	no	—
163	#121	—	4	4	no	—
164	#121	—	4	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	8	no	—
166	C₄×D₄	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	8	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	4	2	no	—
171	C₄×D₄	—	4	4	no	—
172	C₄×D₄	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	4	2	no	—
174	C₄×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	#107	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
196	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	#103	—	2	16	no	—
198	#102	—	2	16	no	—
199	#102	—	2	16	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
202	C₄×C₈	—	2	4	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	2	no	—
212	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
213	#41	—	4	16	no	—
214	#41	—	4	16	no	—
215	#41	—	8	8	no	—
216	#41	—	8	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	16	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	8	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	8	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
280	SD₁₆	—	4	32	no	—
281	D₈	—	4	16	no	—
282	D₈	—	4	32	no	—
283	M₁₆	—	4	16	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	8	no	—
291	C₂×C₈	—	4	4	no	—
292	C₂×C₈	—	4	4	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	4	no	—
295	C₂×C₈	—	8	4	no	—
296	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄²	#120	1	2	yes	—
308	C₄²	#120	1	4	yes	—
309	C₄²	#121	1	4	yes	—
310	C₄²	#127	1	2	yes	—
311	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	4	no	—
316	C₂³	—	4	16	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	8	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	4	4	no	—
323	C₂³	—	8	4	no	—
324	C₂³	—	8	8	no	—
325	C₂³	—	8	4	no	—
326	C₂³	—	8	4	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	4	no	—
330	C₂³	#392	1	2	yes	—
331	C₂³	#466	1	2	yes	—
332	C₂³	#469	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	4	4	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	8	2	no	—
337	Q₈	—	8	2	no	—
338	D₄	—	2	8	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	4	4	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	8	no	—
343	D₄	—	4	8	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	D₄	—	8	4	no	—
346	D₄	—	8	16	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	8	no	—
362	C₂×C₄	—	8	4	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	16	no	—
369	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
373	C₂×C₄	#449	1	8	yes	—
374	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#469	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
385	C₈	—	2	4	no	—
386	C₈	—	4	8	no	—
387	C₈	—	4	2	no	—
388	C₈	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	4	8	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	8	16	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	4	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	16	4	no	—
403	C₂²	—	16	4	no	—
404	C₂²	#1999	1	4	yes	—
405	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3036	1	2	yes	—
407	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3067	1	2	yes	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	2	no	—
415	C₄	#1999	1	4	yes	—
416	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
417	C₄	C₂×#449	1	2	yes	—
418	C₄	#3006	1	2	yes	—
419	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#3153	1	1	yes	characteristic
421	C₂	—	2	4	no	—
422	C₂	—	8	4	no	—
423	C₂	—	16	4	no	—
424	C₂	#19255	1	2	yes	—
425	C₂	#19280	1	2	yes	—
426	C₂	C₂×#1999	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#23428	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#23438	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3169	C₂	semidirect
2. C₂×#3036	C₂	semidirect
3. C₂×#1954	C₂	semidirect
4. C₂×#1547	C₂	semidirect
5. #10264	C₂	semidirect
6. #10261	C₂	semidirect
7. #10260	C₂	semidirect
8. #7874	C₂	semidirect
13. C₂×#500	C₂²	semidirect
14. C₂×#493	C₂²	semidirect
15. C₂×#486	C₂²	semidirect
32. C₂×#332	C₂²	semidirect
33. C₂×#331	C₂²	semidirect
34. #1277	C₂²	semidirect
35. #1277	C₂²	semidirect
116. C₂²×D₄	D₈	semidirect
296. C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
C₂×#3036	2
C₂×#1954	2
C₂×#1547	2
#10264	2
#10261	2
#10260	2
#7874	2