Subgroups — #233078

Order 512.

1464 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3110	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1552	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10270	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10264	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3170	—	2	8	no	—
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#3110	—	2	8	no	—
16	#3110	—	2	8	no	—
17	C₂×#484	—	2	2	no	—
18	C₂×#474	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#467	—	2	2	no	—
20	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#450	—	2	2	no	—
22	C₂×#440	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
24	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1954	—	2	2	no	—
29	#1954	C₂²	1	2	yes	—
30	#1954	C₂²	1	2	yes	—
31	#1552	—	2	8	no	—
32	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1277	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1277	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
42	#533	—	2	4	no	—
43	#533	—	2	4	no	—
44	#533	—	2	4	no	—
45	#533	D₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#500	—	2	4	no	—
64	#494	—	2	4	no	—
65	#487	—	2	4	no	—
66	#487	—	2	4	no	—
67	#484	—	2	16	no	—
68	#474	—	2	8	no	—
69	#474	—	2	8	no	—
70	#467	—	2	16	no	—
71	#461	—	2	8	no	—
72	#461	—	2	8	no	—
73	#450	—	2	16	no	—
74	#440	—	2	32	no	—
75	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
76	#432	—	2	4	no	—
77	#432	D₄	1	8	yes	—
78	C₂×#107	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#103	—	2	4	no	—
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
91	C₂×#97	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#332	—	2	8	no	—
97	#332	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	—	2	1	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
105	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	#125	—	2	8	no	—
140	#125	—	4	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
148	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	8	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	4	2	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	4	2	no	—
155	#117	—	2	8	no	—
156	#117	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	#107	—	2	8	no	—
178	#107	—	2	16	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	#103	—	2	16	no	—
184	#103	—	2	16	no	—
185	#102	—	2	16	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
189	#97	—	2	8	no	—
190	C₄×C₈	—	2	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	#135	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
235	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	Q₁₆	—	4	16	no	—
246	SD₁₆	—	4	32	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	8	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	8	4	no	—
259	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	#120	1	2	yes	—
277	C₄²	#120	1	4	yes	—
278	C₄²	#121	1	4	yes	—
279	C₄²	#127	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	16	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	8	4	no	—
293	C₂³	—	8	8	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	#392	1	2	yes	—
296	C₂³	#473	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	4	8	no	—
299	Q₈	—	4	8	no	—
300	Q₈	—	8	2	no	—
301	Q₈	—	8	2	no	—
302	Q₈	—	8	4	no	—
303	D₄	—	2	8	no	—
304	D₄	—	4	8	no	—
305	D₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	4	8	no	—
341	C₈	—	4	2	no	—
342	C₈	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	8	16	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	8	2	no	—
353	C₂²	#2020	1	4	yes	—
354	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3036	1	2	yes	—
356	C₂²	#3050	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3054	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#473	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	—	8	2	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	#3002	1	4	yes	—
367	C₄	#3006	1	2	yes	—
368	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#3153	1	1	yes	characteristic
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	8	4	no	—
372	C₂	#19259	1	2	yes	—
373	C₂	#19284	1	2	yes	—
374	C₂	#23386	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#23428	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#2020	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3170	C₂	semidirect
4. C₂×#1552	C₂	semidirect
5. #10274	C₂	semidirect
6. #10270	C₂	semidirect
7. #10264	C₂	semidirect
8. #7875	C₂	semidirect
12. C₂×#500	C₂²	semidirect
13. C₂×#494	C₂²	semidirect
14. C₂×#487	C₂²	semidirect
32. C₂×#332	C₂²	semidirect
33. C₂×#332	C₂²	semidirect
34. #1277	C₂²	semidirect
35. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
C₂×#3110	2
C₂×#1954	2
C₂×#1552	2
#10274	2
#10270	2
#10264	2
#7875	2