Subgroups — #233161

Order 512.

1698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10268	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#7872	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×SD₁₆	—	2	2	no	—
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3229	—	2	4	no	—
14	#3229	—	2	4	no	—
15	#3208	—	2	4	no	—
16	#3208	—	2	4	no	—
17	C₂×#498	—	2	1	no	—
18	C₂×#492	—	2	2	no	—
19	C₂×#492	—	2	1	no	—
20	C₂×#492	—	2	4	no	—
21	C₂×#492	—	2	4	no	—
22	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#487	—	2	1	no	—
24	C₂×#486	—	2	1	no	—
25	C₂×#483	—	2	2	no	—
26	C₂×#475	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#460	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#450	—	2	2	no	—
29	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1984	—	2	2	no	—
34	#1984	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1729	—	2	2	no	—
36	#1546	—	2	4	no	—
37	#1545	—	2	4	no	—
38	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
39	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
40	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
50	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	#533	—	2	2	no	—
54	#533	—	2	2	no	—
55	#533	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	—	2	1	no	—
68	C₂×#127	—	2	2	no	—
69	C₂×#127	—	2	1	no	—
70	C₂×#127	—	2	2	no	—
71	C₂×#127	—	2	1	no	—
72	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#125	—	2	1	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#117	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#498	—	2	8	no	—
84	#492	—	2	16	no	—
85	#492	—	2	8	no	—
86	#492	—	2	8	no	—
87	#492	—	2	8	no	—
88	#487	—	2	8	no	—
89	#486	—	2	8	no	—
90	#483	—	2	16	no	—
91	#475	—	2	8	no	—
92	#475	—	2	8	no	—
93	#460	—	2	8	no	—
94	#460	—	2	8	no	—
95	#450	—	2	16	no	—
96	#431	—	2	2	no	—
97	#431	—	2	2	no	—
98	#431	D₄	1	4	yes	—
99	#431	D₄	1	4	yes	—
100	C₂×#106	—	2	4	no	—
101	#423	—	2	2	no	—
102	#423	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×#103	—	2	4	no	—
108	C₂×#102	—	2	4	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
117	#336	—	2	8	no	—
118	#332	—	2	8	no	—
119	#331	—	2	8	no	—
120	C₂⁵	—	4	1	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
144	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
145	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	4	64	no	—
153	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
154	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
155	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	#127	—	2	4	no	—
179	#127	—	2	4	no	—
180	#127	—	2	4	no	—
181	#127	—	2	2	no	—
182	#127	—	2	2	no	—
183	#127	—	2	2	no	—
184	#127	—	4	2	no	—
185	#127	—	4	2	no	—
186	#127	—	4	2	no	—
187	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	#125	—	4	2	no	—
189	#125	—	4	2	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
194	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
200	#117	—	4	2	no	—
201	#117	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	#106	—	2	16	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	#103	—	2	16	no	—
235	#102	—	2	16	no	—
236	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
238	C₄×C₈	—	2	4	no	—
239	C₄×C₈	—	2	4	no	—
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	2	2	no	—
242	C₄×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂⁴	—	4	2	no	—
244	C₂⁴	—	4	4	no	—
245	C₂⁴	—	8	4	no	—
246	C₂⁴	—	8	4	no	—
247	C₂⁴	—	8	4	no	—
248	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
260	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
263	C₂×D₄	—	2	4	no	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	2	no	—
267	C₂×D₄	—	4	2	no	—
268	C₂×D₄	—	4	2	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	8	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	16	no	—
276	C₂×D₄	—	8	8	no	—
277	C₂×D₄	—	8	4	no	—
278	C₂×D₄	—	8	4	no	—
279	C₂×D₄	—	8	8	no	—
280	C₂×D₄	—	8	8	no	—
281	C₂×D₄	—	8	8	no	—
282	C₂×D₄	—	8	4	no	—
283	C₂×D₄	—	8	4	no	—
284	C₂×D₄	—	8	4	no	—
285	C₂×D₄	—	8	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
303	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
307	SD₁₆	—	4	64	no	—
308	SD₁₆	—	8	16	no	—
309	M₁₆	—	8	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	2	16	no	—
313	C₂×C₈	—	2	4	no	—
314	C₂×C₈	—	2	4	no	—
315	C₂×C₈	—	4	4	no	—
316	C₂×C₈	—	4	4	no	—
317	C₂×C₈	—	4	2	no	—
318	C₂×C₈	—	4	4	no	—
319	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	#120	1	2	yes	—
338	C₄²	#120	1	2	yes	—
339	C₄²	#120	1	2	yes	—
340	C₄²	#121	1	2	yes	—
341	C₄²	#121	1	2	yes	—
342	C₄²	#127	1	2	yes	—
343	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂³	—	2	2	no	—
348	C₂³	—	2	2	no	—
349	C₂³	—	4	4	no	—
350	C₂³	—	8	8	no	—
351	C₂³	—	8	8	no	—
352	C₂³	—	8	4	no	—
353	C₂³	—	8	8	no	—
354	C₂³	—	8	4	no	—
355	C₂³	—	8	4	no	—
356	C₂³	—	16	16	no	—
357	C₂³	#392	1	2	yes	—
358	C₂³	#460	1	4	yes	—
359	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
360	Q₈	—	4	8	no	—
361	Q₈	—	4	4	no	—
362	Q₈	—	4	4	no	—
363	Q₈	—	8	2	no	—
364	Q₈	—	8	2	no	—
365	Q₈	—	8	8	no	—
366	Q₈	—	8	4	no	—
367	D₄	—	4	8	no	—
368	D₄	—	4	8	no	—
369	D₄	—	8	4	no	—
370	D₄	—	8	8	no	—
371	D₄	—	8	4	no	—
372	D₄	—	8	2	no	—
373	D₄	—	8	2	no	—
374	D₄	—	8	4	no	—
375	D₄	—	8	8	no	—
376	D₄	—	8	8	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	2	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	8	no	—
390	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#450	1	8	yes	—
394	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
395	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
396	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
398	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
407	C₈	—	2	8	no	—
408	C₈	—	4	4	no	—
409	C₈	—	4	4	no	—
410	C₈	—	8	2	no	—
411	C₂²	—	2	8	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	8	4	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	4	no	—
417	C₂²	—	16	16	no	—
418	C₂²	—	16	8	no	—
419	C₂²	#2014	1	4	yes	—
420	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	C₂×#460	1	2	yes	—
422	C₂²	#3057	1	2	yes	—
423	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
424	C₄	—	2	2	no	—
425	C₄	—	2	1	no	—
426	C₄	—	2	1	no	—
427	C₄	—	8	2	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	#2014	1	4	yes	—
431	C₄	#2019	1	4	yes	—
432	C₄	C₂×#450	1	2	yes	—
433	C₄	#3009	1	2	yes	—
434	C₄	#3010	1	2	yes	—
435	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
436	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
437	C₂	—	2	4	no	—
438	C₂	—	16	4	no	—
439	C₂	#19202	1	4	yes	—
440	C₂	#23388	1	1	yes	characteristic
441	C₂	C₂×#2014	1	1	yes	characteristic
442	C₂	C₂×#2019	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3229	C₂	semidirect
4. #21300	C₂	semidirect
5. C₂×#1546	C₂	semidirect
7. #10268	C₂	semidirect
8. #7872	C₂	semidirect
26. C₂×#475	C₂²	semidirect
34. #1984	C₂²	semidirect
38. C₂×#332	C₂²	semidirect
40. #1277	C₂²	semidirect
162. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3229	2
C₂×#3208	2
C₂²×#492	2
#21300	2
C₂×#1546	2
C₂×#1545	2
#10268	2
#7872	2