Subgroups — #233175

Order 512.

1698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3245	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10266	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	—	2	2	no	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3245	—	2	8	no	—
13	#3245	—	2	8	no	—
14	#3147	—	2	8	no	—
15	C₂×#495	—	2	2	no	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#474	—	2	2	no	—
20	C₂×#474	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#466	—	2	4	no	—
22	C₂×#459	—	2	2	no	—
23	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#408	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1954	—	2	2	no	—
29	#1954	C₂²	1	2	yes	—
30	#1954	C₂²	1	2	yes	—
31	#1547	—	2	8	no	—
32	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
34	#1277	C₂²	1	2	yes	—
35	#1277	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	1	no	—
37	C₂²×#41	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	—	2	16	no	—
39	C₂×#135	—	4	8	no	—
40	C₂×#135	—	4	8	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	#532	—	2	4	no	—
49	#532	—	2	4	no	—
50	#532	—	2	4	no	—
51	#532	—	2	4	no	—
52	#532	—	2	4	no	—
53	#532	D₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#124	—	2	2	no	—
59	C₂×#124	—	2	1	no	—
60	C₂×#121	—	2	1	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#495	—	2	16	no	—
70	#494	—	2	4	no	—
71	#493	—	2	4	no	—
72	#492	—	2	4	no	—
73	#492	—	2	4	no	—
74	#474	—	2	16	no	—
75	#474	—	2	8	no	—
76	#474	—	2	8	no	—
77	#466	—	2	32	no	—
78	#459	—	2	16	no	—
79	#459	—	2	8	no	—
80	#459	—	2	8	no	—
81	C₂×#107	—	2	4	no	—
82	#423	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	#408	—	4	8	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#332	—	2	8	no	—
99	#331	—	2	8	no	—
100	C₂×#41	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	—	4	2	no	—
102	C₂×#41	—	4	2	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	8	no	—
107	C₂×#41	—	4	8	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
123	#135	—	4	64	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×D₈	—	2	8	no	—
131	C₂×D₈	—	2	16	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	8	4	no	—
135	C₂×D₈	—	8	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
145	C₂²×C₈	D₈	1	8	yes	complemented
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	#127	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#124	—	2	8	no	—
159	#124	—	4	4	no	—
160	#124	—	4	4	no	—
161	#121	—	2	8	no	—
162	#121	—	2	8	no	—
163	#121	—	2	8	no	—
164	#121	—	4	4	no	—
165	#121	—	4	4	no	—
166	#121	—	4	4	no	—
167	C₄×D₄	—	2	8	no	—
168	C₄×D₄	—	2	8	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	4	no	—
171	C₄×D₄	—	4	2	no	—
172	C₄×D₄	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	C₄×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	#107	—	2	16	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
194	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	#102	—	2	16	no	—
196	#102	—	2	16	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
199	C₄×C₈	—	2	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	4	32	no	—
206	#41	—	8	8	no	—
207	#41	—	8	4	no	—
208	#41	—	8	8	no	—
209	#41	—	8	4	no	—
210	#41	—	8	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	8	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
254	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	Q₁₆	—	4	16	no	—
267	SD₁₆	—	4	32	no	—
268	D₈	—	4	16	no	—
269	D₈	—	8	16	no	—
270	M₁₆	—	8	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	16	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	8	8	no	—
282	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄²	#120	1	2	yes	—
295	C₄²	#120	1	4	yes	—
296	C₄²	#121	1	4	yes	—
297	C₄²	#127	1	2	yes	—
298	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	1	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	#392	1	2	yes	—
314	C₂³	#459	1	4	yes	—
315	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	8	no	—
317	Q₈	—	8	2	no	—
318	Q₈	—	8	2	no	—
319	Q₈	—	8	4	no	—
320	D₄	—	4	8	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	8	4	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	8	8	no	—
329	D₄	—	8	16	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	16	no	—
350	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
354	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
366	C₈	—	2	4	no	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	4	8	no	—
369	C₈	—	8	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	16	4	no	—
383	C₂²	—	16	4	no	—
384	C₂²	#2011	1	4	yes	—
385	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#459	1	2	yes	—
387	C₂²	#3060	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#3061	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#3067	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	#2011	1	4	yes	—
396	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
397	C₄	#3012	1	2	yes	—
398	C₄	#3013	1	2	yes	—
399	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
400	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
401	C₂	—	2	4	no	—
402	C₂	—	16	2	no	—
403	C₂	—	16	4	no	—
404	C₂	#19189	1	2	yes	—
405	C₂	#19190	1	2	yes	—
406	C₂	#23390	1	1	yes	characteristic
407	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#23438	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3245	C₂	semidirect
2. C₂×#3147	C₂	semidirect
3. #21187	C₂	semidirect
4. C₂×#1547	C₂	semidirect
5. #10274	C₂	semidirect
6. #10266	C₂	semidirect
7. #10260	C₂	semidirect
8. C₂×#1277	C₂	semidirect
145. C₂²×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3245	2
C₂×#3147	2
#21187	2
C₂×#1547	2
#10274	2
#10266	2
#10260	2
C₂×#1277	2