Subgroups — #233204

Order 512.

1246 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21789	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1558	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10278	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10275	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#7878	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3235	—	2	4	no	—
14	#3235	—	2	4	no	—
15	#3230	—	2	4	no	—
16	#3230	—	2	4	no	—
17	#3227	—	2	4	no	—
18	#3227	—	2	4	no	—
19	C₂×#501	—	2	1	no	—
20	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#498	—	2	1	no	—
22	C₂×#490	—	2	1	no	—
23	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#486	—	2	1	no	—
25	C₂×#484	—	2	2	no	—
26	C₂×#481	—	2	2	no	—
27	C₂×#482	—	2	2	no	—
28	C₂×#477	—	2	2	no	—
29	C₂×#476	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1955	—	2	2	no	—
37	#1954	C₂²	1	4	yes	—
38	#1780	—	2	2	no	—
39	#1558	—	2	4	no	—
40	#1554	—	2	4	no	—
41	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂²×#41	—	2	1	no	—
46	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	D₄	1	4	yes	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#125	—	2	1	no	—
68	C₂×#124	—	2	1	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
71	C₂×#121	—	2	1	no	—
72	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#117	—	2	1	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#501	—	2	8	no	—
82	#500	—	2	4	no	—
83	#500	—	2	4	no	—
84	#498	—	2	8	no	—
85	#490	—	2	8	no	—
86	#487	—	2	4	no	—
87	#487	—	2	4	no	—
88	#486	—	2	8	no	—
89	#484	—	2	16	no	—
90	#482	—	2	16	no	—
91	#481	—	2	16	no	—
92	#477	—	2	16	no	—
93	#476	—	2	8	no	—
94	#476	—	2	4	no	—
95	#476	—	2	8	no	—
96	#476	—	2	4	no	—
97	#474	—	2	4	no	—
98	#474	—	2	4	no	—
99	#432	—	2	2	no	—
100	#432	—	2	2	no	—
101	#432	—	2	2	no	—
102	#432	D₄	1	4	yes	—
103	#431	—	2	2	no	—
104	#431	—	2	2	no	—
105	#431	—	2	2	no	—
106	#431	D₄	1	4	yes	—
107	C₂×#107	—	2	4	no	—
108	C₂×#107	—	2	2	no	—
109	C₂×#106	—	2	2	no	—
110	C₂×#106	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×#103	—	2	4	no	—
116	C₂×#102	—	2	2	no	—
117	C₂×#102	—	2	2	no	—
118	C₂×#102	—	2	4	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
124	C₂×#97	—	2	1	no	—
125	C₂×#97	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
128	#333	—	2	4	no	—
129	#333	—	2	8	no	—
130	#332	—	2	4	no	—
131	C₂×#41	—	4	2	no	—
132	C₂×#41	—	4	2	no	—
133	C₂×#41	—	8	4	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
140	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
141	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	#127	—	2	2	no	—
176	#127	—	2	2	no	—
177	#125	—	2	4	no	—
178	#125	—	4	2	no	—
179	#124	—	4	2	no	—
180	#124	—	4	2	no	—
181	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
185	#121	—	2	4	no	—
186	#121	—	2	4	no	—
187	#121	—	4	2	no	—
188	#121	—	4	2	no	—
189	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₄×D₄	—	2	2	no	—
194	C₄×D₄	—	2	2	no	—
195	C₄×D₄	—	2	2	no	—
196	C₄×D₄	—	2	2	no	—
197	C₄×D₄	—	4	2	no	—
198	C₄×D₄	—	4	2	no	—
199	#117	—	2	4	no	—
200	#117	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	#107	—	2	8	no	—
230	#107	—	2	16	no	—
231	#106	—	2	16	no	—
232	#106	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
240	#103	—	2	16	no	—
241	#102	—	2	8	no	—
242	#102	—	2	16	no	—
243	#102	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	8	8	no	—
249	#97	—	2	4	no	—
250	#97	—	4	2	no	—
251	C₄×C₈	—	2	4	no	—
252	C₄×C₈	—	2	2	no	—
253	C₄×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂⁴	—	2	2	no	—
255	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
256	#41	—	8	8	no	—
257	#41	—	8	8	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
272	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
273	C₂×D₄	—	2	2	no	—
274	C₂×D₄	—	2	2	no	—
275	C₂×D₄	—	2	8	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	8	2	no	—
280	C₂×D₄	—	8	2	no	—
281	C₂×D₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
298	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	8	no	—
310	C₂×C₈	—	4	4	no	—
311	C₂×C₈	—	4	4	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	—	4	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄²	—	4	4	no	—
338	C₄²	#120	1	2	yes	—
339	C₄²	#120	1	2	yes	—
340	C₄²	#120	1	2	yes	—
341	C₄²	#121	1	2	yes	—
342	C₄²	#121	1	2	yes	—
343	C₄²	#127	1	2	yes	—
344	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂³	—	2	2	no	—
349	C₂³	—	2	2	no	—
350	C₂³	—	2	2	no	—
351	C₂³	—	4	2	no	—
352	C₂³	—	4	4	no	—
353	C₂³	—	4	4	no	—
354	C₂³	—	4	4	no	—
355	C₂³	#392	1	2	yes	—
356	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
357	Q₈	—	4	4	no	—
358	Q₈	—	8	2	no	—
359	Q₈	—	8	4	no	—
360	Q₈	—	8	2	no	—
361	Q₈	—	8	4	no	—
362	Q₈	—	8	8	no	—
363	Q₈	—	8	4	no	—
364	Q₈	—	8	2	no	—
365	D₄	—	4	4	no	—
366	D₄	—	4	4	no	—
367	D₄	—	8	4	no	—
368	D₄	—	8	4	no	—
369	D₄	—	8	8	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	2	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	8	8	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	2	no	—
389	C₂×C₄	—	8	4	no	—
390	C₂×C₄	—	8	4	no	—
391	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
401	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
402	C₈	—	4	4	no	—
403	C₈	—	4	4	no	—
404	C₈	—	4	4	no	—
405	C₈	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	2	2	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	8	8	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	8	2	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#3042	1	2	yes	—
416	C₂²	#3059	1	2	yes	—
417	C₂²	#3068	1	2	yes	—
418	C₄	—	2	2	no	—
419	C₄	—	2	2	no	—
420	C₄	—	2	1	no	—
421	C₄	—	2	1	no	—
422	C₄	—	2	2	no	—
423	C₄	—	8	2	no	—
424	C₄	—	8	2	no	—
425	C₄	—	8	4	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	#3010	1	2	yes	—
428	C₄	#3011	1	2	yes	—
429	C₄	#3011	1	2	yes	—
430	C₄	#3154	1	2	yes	—
431	C₂	—	4	2	no	—
432	C₂	—	16	2	no	—
433	C₂	#19515	1	4	yes	—
434	C₂	#23389	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#23424	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#23439	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3230	C₂	semidirect
5. C₂×#1558	C₂	semidirect
6. C₂×#1554	C₂	semidirect
7. #10278	C₂	semidirect
8. #10275	C₂	semidirect
9. #7878	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3235	2
C₂×#3230	2
C₂×#3227	2
#21789	2
C₂×#1558	2
C₂×#1554	2
#10278	2
#10275	2
#7878	2